Ley del péndulo

Para otros usos de este término, véase Péndulo (desambiguación).

Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l, en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente: 9,81 m.s^-2), y sujeto a pequeñas oscilaciones.
El período T de oscilación del péndulo es dado por la fórmula:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac {l} {g}}$

Prueba

Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.

La energía cinética del péndulo es : E_c = m·v²/2 = ml²θ'²/2.
Se puede tomar su energía potencial igual a: E_p = - m·g·l·cos θ

Este sistema no pierde energía, por lo tanto E_c + E_p es constante (1).

Al derivar (1) se obtiene: m·l²·θ'·θ" + m·g·l·θ'·sen θ = 0 (2).

Se puede simplificar (2) por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da:

l·θ" + g·sen θ = 0 (3).

Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede remplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ³ (porque sin θ = θ + O(θ³)).

Entonces (3) equivale a:

l·θ" + g·θ = 0 o sea θ" = -(g/l)·θ (4)

Un movimiento oscilatorio sigue la ley θ = θ_M·sen (ω·t + φ) lo que implica que θ" = - ω²·θ. (5) (ω es la velociad angular de la ley y θ_M el ángulo máximo)

Identificando (4) y (5) se obtiene ω² = g/l, es decir ω= √(g/l).

Concluimos recordando que T = 2π/ω.