Ley potencial

Ley potencial

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Un ejemplo gráfico de ley potencial, usado para demostrar el ranking de popularidad. A la derecha se encuentra la larga cola, y a la izquerda, los pocos que dominan. (también conocida como regla de 80/20).

Una ley potencial es un tipo especial de relación matemática entre dos cantidades. Si una cantidad es la frecuencia de un evento, en una distribución de ley potencial, las frecuencias decrecen muy lentamente cuando el tamaño del evento aumenta. Por ejemplo, un terremoto el doble de largo es cuatro veces más raro. Si este patrón se mantiene para los terremotos de todos los tamaños, se dice que la distribución "escala". Las leyes potenciales también describen otros tipos de relaciones, como el metabolismo basal de una especie y su masa corporal (llamada ley de Kleiber), y el tamaño de una ciudad y el número de patentes que produce. Lo que esta relación significa es que no hay tamaño típico en un sentido convencional. Las leyes potenciales se encuentran en los mundos natural y creado por humanos, y son un campo de estudio activo por la comunidad científica.

Definición

Una relación en forma de ley de potencia entre dos escalares cuantitativos x e y es aquella que puede expresarse como sigue:

$y = ax^k\,\!$

donde a (la constante de proporcionalidad) y k (el exponente de la potencia) son constantes.

La ley de potencia puede interpretarse como una línea recta en un gráfico doble-logarítmico, ya que la ecuación anterior se puede expresar

$\log(y) = k\log(x) + \log(a)\,\!$

la cual presenta la misma forma que la ecuación de una línea recta

$y = mx+c\,\!$

Aplicaciones

Estas expresiones potenciales pueden observarse en muchos campos, como la física, la biología, la geografía, la sociología, la economía y la lingüística.

Ejemplos

Ejemplos de relaciones potenciales:

• La ley de Stefan-Boltzmann
• La ley de Gompertz de mortalidad

Ejemplos de ley de potencia:

• Distribución de probabilidad:
• Distribución Pareto
• Distribución Weibull
• Función del olvido según Wickelgren (1974):

$R(t) = at^{-b}\,\!$

• Ley de Zipf

Estos casos parecen ajustar fenómenos tan dispares como la popularidad de una red en Internet, la riqueza de las personas (ley de Pareto) y la frecuencia de las palabras en un texto.

Referencias

La función que describe el olvido, según Wickelgren, viene descrita en el artículo siguiente (en inglés): Wickelgren, W. A. (1974). Single-trace fragility theory of memory dynamics. Mem. Cogn., 2:775–780.

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