Utilidad marginal

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La utilidad marginal es un constructo sobre el valor que introducen ciertas teorías económicas que representa cuantitativamente la utilidad o satisfacción que brinda a un agente económico un bien por cada dosis adicional que este consuma.

El concepto de utilidad marginal aclara el viejo enigma del agua y los diamantes. El precio de un bien se define a través de su utilidad marginal, no a través de la utilidad objetiva. Allí donde el agua está disponible en abundancia, su utilidad marginal es baja; la utilidad marginal de los diamantes es alta a causa de su rareza. Este enunciado aclara la observación diaria de que la oferta repentina amplia de un bien -por ejemplo, tomate- en general conduce a una caída de su precio.

Historia

El concepto se desarrolló en el siglo XIX dentro de los esfuerzos de explicar el mecanismo de formación de precios por un procedimiento alternativo a la Teoría del valor-trabajo que había sido usada por los economistas clásicos (incluyendo los economistas marxistas). La teoría en la forma más o menos actual fue resumida por primera vez por el economista Friedrich von Wieser, al que se le atribuye la acuñación del término de utilidad marginal (Grenznutzen). (véase: teoría del valor subjetivo, oferta y demanda).

Definición neoclásica Utilidad marginal

Supongamos que un consumidor racional debe decidir gastar su ingreso disponible entre n bienes con algún criterio de optimización. La escuela neoclásica postula la existencia de una función escalar U para cada consumidor definida sobre el conjunto de combinaciones de n bienes que mide la utilidad o satisfacción total U^(c) que obtendrá el consumidor después de haber consumido una combinación de bienes dada por las cantidades (q₁,...,q_n):

$U:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \qquad U^{(c)} = U(q_1,...q_n)$

En esas condiciones se define la utilidad marginal asociada al bien i como el aumento de la utilidad total al consumir una unidad adicional del bien i. Si admitimos que el bien i puede ser infinitamente divisible,^[1] la utilidad marginal u viene dada por:

$u := \frac{\partial U(q_1,...q_n)}{\partial q_i}$

La función de utilidad no es directamente medible y es subjetiva, es decir, depende de forma caprichosa de los gustos y deseos de cada consumidor. Así diferentes consumidores obtendrán satisfacciones o utilidades diferentes de la misma combinación de bienes, según sea esta combinación más o menos acorde a sus gustos y deseos.

Maximización de la utilidad

Artículo principal: Eficiencia de Pareto

De acuerdo con los postulados de la escuela neoclásica un consumidor racional tratará de obtener la máxima utilidad de su ingreso disponible lo cual, si admitimos la existencia de la anterior función de utilidad, conllevará que la combinación de bienes escogida por este consumidor racional será precisamente la combinación q que satisface las siguientes ecuaciones:

(1) $\mbox{max} \quad U(q_1,...,q_n) = U(\bar{q}_1, ..., \bar{q}_n) \qquad \bar{q} = (\bar{q}_1,..., \bar{q}_n)$

Sujeto a la restricción presupuestaria:

(2) $\bar{q}_1p_1+\bar{q}_2p_2+...+\bar{q}_np_n = r_D$

Por la teoría de extremos condicionados de Lagrange, se puede demostrar que las ecuaciones (1) equivalen a las ecuaciones (3), sujetas a la misma restricción presupuestaria:

(3) $\frac{1}{p_1}\frac{\partial U(\bar{q})}{\partial q_1} = \frac{1}{p_2}\frac{\partial U(\bar{q})}{\partial q_2} = ... = \frac{1}{p_n}\frac{\partial U(\bar{q})}{\partial q_n}$

Las condiciones anteriores puede resumirse en que el consumidor escogerá aquella combinación de bienes tales que las utilidades marginales divididas de los precios sean todas iguales. Ello significa que, partiendo de la premisa de que la utilidad marginal es decreciente, la maximización de la utilidad sobreviene cuando el último esfuerzo necesario para obtener el beneficio es exactamente igual al beneficio obtenido, momento a partir del cual la siguiente unidad de beneficio requerirá un esfuerzo mayor que el beneficio en su mismo, por lo que no merecerá la pena.

Curva de demanda

La forma de la función de utilidad determina igualmente la forma de la curva de demanda neoclásica que relaciona la cantidad consumida de un bien con el precio, cuando la utilidad es una función estrictamente convexa y los precios son cantidades positivas. Además puede probarse que si la utilidad marginal es decreciente entonces la curva de demanda tiene pendiente negativa.

Para ver esto matemáticamente construimos la función auxiliar: $\boldsymbol\Phi:\R^n\times\R^n \to \R^n$ dada por:

$\begin{cases} \Phi_1(p,q) = \cfrac{u_1(q)}{p_1} - \cfrac{u_2(q)}{p_2}\\ \Phi_2(p,q) = \cfrac{u_1(q)}{p_1} - \cfrac{u_2(q)}{p_2}\\ \dots\\ \Phi_{n-1}(p,q) = \cfrac{u_{n-1}(q)}{p_{n-1}} - \cfrac{u_n(q)}{p_n}\\ \Phi_n(p,q) = p_1q_1 + \dots + p_n q_n = Y \end{cases}$

Las soluciones de la ecuación $\boldsymbol\Phi(p,q)=0$ definen precisamente la "curva" de demanda. Para verificar la existencia de solución de esta ecuación aplicamos el teorema de la función implícita, existirá una función $q = f_Y(p)\,$ tal que $\boldsymbol\Phi(p,f_Y(p))=0$, siempre y cuando el siguiente determinante no se anule nunca:

$\det[D_{n+i}\boldsymbol\Phi_i] = \det\left[\frac{\part \boldsymbol\Phi_i}{\part p_i}\right]_{i=1\dots n} = \begin{vmatrix} -\cfrac{u_1}{p_1^2} & +\cfrac{u_2}{p_2^2} & 0 & \dots & 0\\ 0 & -\cfrac{u_2}{p_2^2} & +\cfrac{u_3}{p_3^2} & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ 0 & \dots & \dots & \dots & +\cfrac{u_n}{p_n^2}\\ q_1 & q_2 & q_3 & \dots & q_n \end{vmatrix}$

Véase también

• Microeconomía
• Paradoja del valor

Referencias

Notas

1. ↑ Si el bien i no fuera infinitamente divisible podríamos redefinir la función de utilidad como función sobre el conjunto de los enteros y aplicar un razonamiento parecido.

Bibliografía

Enlaces externos

• Aspectos Críticos de la Teoría de la Demanda, por J F Bellod
• El origen del valor y los precios, por Enrique Arenz
• Utilidad marginal decreciente y demanda
• Utilidad marginal, Diccionario de economía y finanzas
• Ley de la utilidad marginal, apuntes de economía política