Matrices elementales


Matrices elementales

Matrices elementales

Las matrices elementales son aquellas que se obtienen a partir de una única operación elemental de matrices sobre la matriz identidad.
Estas son:

  1. Escalamiento: multiplicar una fila por un número.
  2. Eliminación: sumar a una fila una combinación lineal de las restantes.
  3. Permutación: intercambiar dos filas.

Las matrices tienen esta forma (en el caso 3X3):

Obtenidas por escalamiento


\begin{pmatrix}
  a & 0 & 0  \\    
  0 & 1 & 0  \\ 
  0 & 0 & 1  \\ 
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\    
  0 & a & 0  \\ 
  0 & 0 & 1  \\ 
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\    
  0 & 1 & 0  \\ 
  0 & 0 & a  \\ 
\end{pmatrix}

Obtenidas por eliminación


\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\     
  a & 1 & 0  \\   
  0 & 0 & 1  \\   
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\     
  0 & 1 & 0  \\   
  a & 0 & 1  \\   
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\     
  0 & 1 & 0  \\   
  a & 0 & 1  \\   
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\     
  0 & 1 & 0  \\   
  0 & a & 1  \\   
\end{pmatrix}

Análogamente, el número a puede estar encima de la diagonal.

Obtenidas por permutación

Véase: matriz permutación

Propiedades

Si multiplicamos alguna de estas matrices por una matriz A, será como aplicar las operaciones elementales de matrices. Es fácil ver que estas matrices tienen inversas, ya que pensando en ellas como matrices A se debe aplicar la operación "inversa". Por ejemplo, teniendo:


A=
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\    
  0 & 1 & 0  \\ 
  0 & 0 & a  \\ 
\end{pmatrix}
Queremos que el elemento a33 sea 1. Entonces: 
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\    
  0 & 1 & 0  \\ 
  0 & 0 & 1/a\\ 
\end{pmatrix}

Obtenido de "Matrices elementales"

Wikimedia foundation. 2010.

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