Matriz de adyacencia

La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada que se utiliza como una forma de representar relaciones binarias.

Construcción de la matriz a partir de un grafo

1. Se crea una matriz cero, cuyas columnas y filas representan los nodos del grafo.
2. Por cada arista que une a dos nodos, se suma 1 al valor que hay actualmente en la ubicación correspondiente de la matriz.

   Si tal arista es un bucle y el grafo es no dirigido, entonces se suma 2 en vez de 1.

Finalmente, se obtiene una matriz que representa el número de aristas (relaciones) entre cada par de nodos (elementos).

Existe una matriz de adyacencia única para cada grafo (sin considerar las permutaciones de filas o columnas), y viceversa.

Ejemplo de grafo no dirigido

Figura 1 Ejemplo de grafo no dirigido, para el que se calcula la matriz de adyacencia.

La matriz de adyacencia para el grafo no dirigido de la Figura 1 viene dada por:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Ejemplo de grafo dirigido

Figura 2 Ejemplo de grafo dirigido, para el que se calcula la matriz de adyacencia.

La matriz de adyacencia para el grafo dirigido de la Figura 2 viene dada por:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

Propiedades de la matriz de adyacencia

• Para un grafo no dirigido la matriz de adyacencia es simétrica.
• El número de caminos C_i,j(k), atravesando k aristas desde el nodo i al nodo j, viene dado por un elemento de la potencia k-ésima de la matriz de adyacencia:

$C_{i,j}(k) = [\mathbf{A}^k]_{ij}$

Comparación con otras representaciones

Existen otras formas de representar relaciones binarias, como por ejemplo los pares ordenados o los grafos. Cada representación tiene sus virtudes y desventajas.

En particular, la matriz de adyacencia es muy utilizada en la programación, porque su naturaleza binaria y matricial calza perfecto con la de los computadores. Sin embargo, a una persona común y corriente se le hará mucho más sencillo comprender una relación descrita mediante grafos, que mediante matrices de adyacencia.

Otra representación matricial para las relaciones binarias es la matriz de incidencia.

Aplicaciones

La relación entre un grafo y el vector y valor propio de su correspondiente matriz de adyacencia se estudian en la teoría espectral de grafos.

Véase también

• matriz laplaciana