Matriz permutación

Matriz permutación

La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta definición existen n! matrices de permutación distintas, de las cuales una mitad corresponde a matrices de permutación par (con el determinante igual a 1) y la otra mitad a matrices de permutación impar (con el determinante igual a -1).

Para n = 3 se tiene:

Matrices de permutación par:


\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\     
  0 & 1 & 0  \\   
  0 & 0 & 1  \\   
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1  \\     
  1 & 0 & 0  \\   
  0 & 1 & 0  \\   
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  0 & 1 & 0  \\     
  0 & 0 & 1  \\   
  1 & 0 & 0  \\   
\end{pmatrix}

Matrices de permutación impar:


\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1  \\     
  0 & 1 & 0  \\   
  1 & 0 & 0  \\   
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  0 & 1 & 0  \\     
  1 & 0 & 0  \\   
  0 & 0 & 1  \\   
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\     
  0 & 0 & 1  \\   
  0 & 1 & 0  \\   
\end{pmatrix}

Puede notarse que las matrices de permutación conforman un grupo de orden n! respecto al producto.

Propiedades

  • El elemento neutro del grupo es la matriz identidad.
  • El elemento inverso de cada elemento del grupo de matrices de permutación es la matriz traspuesta correspondiente.
  • Cada elemento del grupo de matrices de permutación es una matriz ortogonal.
  • El producto de matrices de permutación par siempre genera una matriz de permutación par.
  • El producto de matrices de permutación impar siempre genera una matriz de permutación par.
  • El producto de matrices de permutación de paridad distinta siempre genera una matriz de permutación impar.
  • Observe que las matrices de permutación par conforman un semigrupo y que además el grupo de matrices de permutación no es conmutativo.
  • Cada elemento del grupo de matrices de permutación fuera del semigrupo es una matriz simétrica.

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Matriz permutación — Matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualesquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta definición existen n! matrices de permutación distintas, de las cuales una mitad corresponde… …   Enciclopedia Universal

  • Permutación — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada… …   Wikipedia Español

  • Matriz elemental — Las matrices elementales son aquellas que se obtienen a partir de una única operación elemental de matrices sobre la matriz identidad. Estas son: Escalamiento: multiplicar una fila por un número. Eliminación: sumar a una fila una combinación… …   Wikipedia Español

  • Matriz identidad — En álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no …   Wikipedia Español

  • Matriz ortogonal — Una matriz cuadrada A con matriz traspuesta y matriz inversa es ortogonal, siempre que . Por ejemplo, si B es ortogonal, entonces: Si la matriz A y B son ortogonales entonces la matriz producto de A por B es ortogonal. Toda matriz permutación es… …   Enciclopedia Universal

  • Matriz semejante — En álgebra lineal, se dice que dos matrices A y B de n por n sobre el cuerpo K son semejantes si existe una matriz invertible P de n por n sobre K tal que: P −1AP = B. Uno de los significados del término transformación de semejanza es una… …   Wikipedia Español

  • Matriz ortogonal — Una matriz ortogonal es un matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal . Geométricamente las matrices ortogonales representan… …   Wikipedia Español

  • Matriz traspuesta — Si A denota a la matriz nxm elementos: entonces la permutación de filas por columnas o viceversa, en la matriz A, produce a la matriz traspuesta: A será una matriz simétrica, si y solo sí, n = m y = A. Sean ademas A y B matrices apropiadas para… …   Enciclopedia Universal

  • Signo de una permutación — Definición Para cada permutación σ dentro del grupo de permutaciones Sn, el signo de σ, notado usualmente como ε(σ), se define por: siendo ν(σ) el número de trasposiciones de una descomposición cualquiera de σ en producto de trasposiciones. De… …   Wikipedia Español

  • Factorización LU — Saltar a navegación, búsqueda En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de éste método, por… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”