Matriz transpuesta


Matriz transpuesta

Matriz transpuesta

Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz traspuesta, denotada con At está dada por

(A^t)_{ij} = A_{ji},\ 1\le i\le n,\ 1\le j\le m

Contenido

Ejemplos


\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^t
=
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^t
= 
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

Propiedades

Para toda matriz A
(A^t)^t = A.\,
Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo \mathcal{A} y sea c\in\mathcal{A}
(A + B)^t = A^t + B^t.\,
(c\,A)^t = c\,A^t,
Si el producto de las matrices A y B está definido,
(AB)^t = B^tA^t.\,
Si A es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces
A^t A\,
es semidefinida positiva

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su transpuesta, esto es si

A^t = A\,

Es antisimétrica si coincide con su negativa

A^t = -A\,

Si los elementos de la matriz A son números complejos y su transpuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica

A^t = \bar{A},\quad A = (\bar{A})^t = A^\dagger,

y antihermítica si

A^t = -\bar{A}.

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (la matrices simétricas son un caso particular) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también

La definición de matriz transpuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal

Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la transposición de matrices.

Obtenido de "Matriz transpuesta"

Wikimedia foundation. 2010.

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