Análogo dimensional del Cubo de Rubik


Análogo dimensional del Cubo de Rubik

Análogo dimensional del Cubo de Rubik

Un Análogo dimensional del Cubo de Rubik es un rompecabezas cuya geometría y funcionamiento son análogos a los del Cubo de Rubik, es decir puede ser un hipercubo de cualquier número de dimensiones. Estos análogos tienen nd piezas diferentes, donde d es el número de dimensiones del hipercubo, y n es el número partes en las que se divide cualquiera de las líneas que unen dos vértices del mismo. El conocido cubo de Rubik es un hipercubo con 33 = 27 piezas cúbicas, de las cuales una es invisible por estar en el centro del cubo.

Estructura

Cada uno de los análogos tiene sus piezas cubiertas por estampitas de colores, las cuales tienen d − 1 dimensiones. Sin embargo, sólo un subconjunto de las piezas muestran sus estampitas al exterior, es decir hay piezas con un distinto número de estampitas visibles en d dimensiones. Por ejemplo, en el Cubo de Rubik existen piezas que tienen 0, 1, 2, y 3 estampitas. En general los análogos contienen d + 1 tipos distintos de piezas. Para cada tipo distinto de piezas se puede conocer el número total de ellas en el rompecabezas a través de la fórmula

2^s \cdot {}_d\!C_s

Donde d es el número de dimensiones, s es el número de estampitas de un tipo de pieza particular, y {}_d\!C_s es el número de combianaciones de d cosas tomadas en s, lo que es igual a

\frac{d!}{s!(d-s)!}

Si añadimos a nuestra fórmula el operador n − 2 obtenemos una expresion para el número de piezas de cualquier n, d, y s

2^s \cdot {}_d\!C_s \cdot (n-2)

A partir de estos planteamientos podemos deducir el número de piezas de todos los tipos, por ejemplo de un análogo de la forma 3d:

d\s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Piezas totales Estampitas totales
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2
2 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 9 12
3 1 6 12 8 0 0 0 0 0 0 0 27 54
4 1 8 24 32 16 0 0 0 0 0 0 81 216
5 1 10 40 80 80 32 0 0 0 0 0 243 810
6 1 12 60 160 240 192 64 0 0 0 0 729 2916
7 1 14 84 280 560 672 448 128 0 0 0 2187 10206
8 1 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0 0 6561 34992
9 1 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 0 19683 118098
10 1 20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 59049 393660
Obtenido de "An%C3%A1logo dimensional del Cubo de Rubik"

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