Regla de Simpson

La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo).

En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$.

Derivación de la regla de Simpson

Consideramos el polinomio interpolante de orden dos P₂(x), que aproxima a la función integrando f(x) entre los nodos x₀ = a, x₁ = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:

$P_2(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+ f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+ f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)} .$

Así, la integral buscada^[1]

$I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

es equivalente a

$I = \int_{a}^{b} P_2(x) \, dx + \mbox{término error} =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f(m)+f(b)\right] + E(f) ,$

donde E(f) es el término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f(m)+f(b)\right].$

Error

El término error E(f), llamado error global, corresponde a^[1]

$E(f) = -\frac{h^5}{90}\, f^{(4)}(\xi),$

donde h = (b − a) / 2 y ξ pertenece al intervalo [a,b].

Se puede calcular una estimación del error cometido al aproximar la integral mediante este método. Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos absolutos) está acotado como^[2]

$|E(f)| = \left | \int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} P_2(x) \, dx \right | \leq \frac{h^5}{90}\, \max_{a\leq \xi \leq b}\left | f^{(4)}(\xi) \right |,$

donde, de nuevo h = (b − a) / 2 y $\xi \in [a, b]$.

Regla de Simpson compuesta

En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que x_i = a + ih, donde h = (b − a) / n para i = 0,1,...,n.

Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo $[x_{j-1},x_{j+1}],\ j=1,3,5, ..., n-1,$ tenemos:

$\int_{x_{j-1}}^{x_{j+1}} f(x)\, dx = \frac{x_{j+1}-x_{j-1}}{3}\left[f(x_{j-1}) + 4f(x_j)+f(x_{j+1})]\right.$

Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:

$\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg],$

El máximo error viene dado por la expresión $(b-a)\,\frac{h^4}{180}\,\max_{a\leq \xi \leq b}\left | f^{(4)}(\xi) \right |.$

Historia

La fórmula fue utilizada por primera vez por Evangelista Torricelli, pero debe su nombre al matemático Inglés Thomas Simpson. Corresponde a la regla del tonel que Johannes Kepler ya había formulado en 1615.

Sobre la historia de su surgimiento, Kepler informa en la dedicatoria de su publicación posterior: Después de que la primera esposa de Kepler había muerto en Praga en 1611, Kepler se casó nuevamente - en Linz, donde ahora trabajaba - en 1613. Para la boda compró algunos toneles de vino. Puesto ya el vino en la bodega, el vendedor concurrió con una vara de medir y determinó el contenido para todos los barriles sin pensar o calcular, utilizando un mismo método, consistente en que introducía la punta de metal de la vara de medir a través de la piquera , en diagonal hacia los bordes de ambos fondos y la marca en la piquera arrojaba la medida del volumen del contenido. Kepler se sorprendió con aquello de que una diagonal a través del medio del barril pudiera dar una medida sobre el volumen contenido y puso en duda la exactitud de este método, debido a que, por ejemplo, un barril muy bajo que tuviera una base algo más ancha y por eso un volumen contenido mucho menor podría tener el mismo radio a la vista.^[3]

A raíz de esto, Kepler formuló en 1615 el escrito Nova Stereometria doliorum vinariorum (Nuevo cálculo del contenido de barriles de vino), en el que buscaba métodos verificables para el cálculo del contenido de los toneles de vino. Uno de estos métodos consistió en aproximar la curvatura del barril por una parábola, dado que los cálculos con ayuda de parábolas ya se podían realizar muy exactamente desde Arquímedes.^[4]

Entre otras cosas, Kepler describió en este texto una fórmula para el cálculo de la capacidad (más precisamente, del volumen) de barriles de vino con formas irregulares. Esta fórmula arroja valores exactos para el tronco de la pirámide (incluida la pirámide), la esfera, el paraboloide elíptico, el hiperboloide de una hoja y todas las demás superficies de un cuerpo que pueden ser generadas por secciones planas perpendiculares al eje del cuerpo.

Véase también

• Regla del trapecio
• Fórmulas de Newton–Cotes

Referencias

1. ↑ ^{a b} Rao, Sankara (2007). «7.6 Newton-Cotes integration formulae» (en inglés). Numerical Methods For Scientists And Engineers (3ª edición). New Delhi (India): Prentice-Hall of India Learning Private. pp. 151-159. ISBN 8120332172. 
2. ↑ Grasselli, Matheus; Pelinovsky, Dmitry (2008). «6.6 Newton-Cotes integration rules» (en inglés). Numerical mathematics (1ª edición). Massachusetts (USA): Jones & Bartlett Learning. pp. 328. ISBN 0763737674. 
3. ↑ Wussing, Hans (1998), Lecciones de historia de las matemáticas, Siglo XXI de España Editores, pp. 141-142, ISBN 9788432309663, http://books.google.es/books?id=IG3_b5Xm8PMC&lpg=PA141&dq=Kepler%20barril&pg=PA142#v=onepage&q&f=false, consultado el 20 de junio de 2011 
4. ↑ Kepler, Johannes (1908) (en alemán, traducción desde el latín por R. Klug. W. Engelmann). Neue Stereometrie der Fässer. Leipzig. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Simpson's rule» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.