Monoide

El monoide es una estructura algebraica en el conjunto $A \,$, con la operación binaria interna: $\circ$, expresado: $(A,\circ)$, donde se cumplen las siguientes tres propiedades:

1. Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo $\circ$, el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:

   $\forall x, y \in A : \quad x \circ y \in A$.

2. Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

   $\forall x, y, z \in A: \quad x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z \;$

3. Con Elemento neutro para todo elemento x que pertenezca al conjunto A, existe un único elemento e de A, que cumple:

   $\forall x \in A : \quad \exists ! \, e : \quad e \circ x = x \circ e = x$

En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna $\circ$ si: $\forall a, b \in A: \quad a \circ b = b \circ a \;$

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Ejemplos

Concatenación de cadenas alfanuméricas

Definimos el conjunto A de las cadenas alfanuméricas, cada una de las cuales es una secuencia de letras y números de cualquier longitud, que representaremos:

$\langle abcd \rangle$

$\langle aju73fr5 \rangle$

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

$\langle \rangle$

Definimos la operación $\shortparallel$ de concatenación de cadenas de caracteres:

$A \shortparallel A \to A$

que podemos representar, de las siguientes formas:

• $\langle asd \rangle \shortparallel \langle rfv \rangle \; \to \; \langle asdrfv \rangle$

• $\langle 1234 \rangle \shortparallel \langle ju \rangle \; \to \; \langle 1234ju \rangle$

podemos ver que $( A , \shortparallel )$ tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas su concatenación es una cadena alfanumérica:

$\forall a, b \in A : \quad a \shortparallel b \in A$.

2.- Es asociativa:

$\forall a, b, c \in A: \quad a \shortparallel (b \shortparallel c) = (a \shortparallel b) \shortparallel c \;$

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres, existe la cadena vacía $\langle \rangle$ de A, de modo:

$\forall a \in A : \quad \exists \, \langle \rangle : \quad \langle \rangle \shortparallel a = a \shortparallel \langle \rangle = a$

La concatenacion de cadenas de caracteres no es conmutativa:

$\forall a, b \in A: \quad a \shortparallel b \ne b \shortparallel a \;$

Por lo que $( A , \shortparallel )$ tiene estructura algebraica de monoide, no conmutativo.

Multiplicación de números naturales

Partiendo del conjunto de los números naturales:

$N = \{ 1, 2, 3, 4, \dots \} \,$

y la operación multiplicación, podemos ver que: $(N , \times )$ es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:

$\forall a, b \in N : \quad a \times b \in N$.

2.- Es asociativa:

$\forall a, b, c \in N: \quad a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \;$

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a número natural, existe el 1 en N, que cumple:

$\forall a \in N : \quad \exists \, 1 : \quad 1 \times a = a \times 1 = a$

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:

$\forall a, b \in A: \quad a \times b = b \times a \;$

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación: $(N , \times )$, tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

En la teoría de categorías

Una categoría monoidal, es una categoría con una operación binaria que convierte a la categoría en un monoide. Dos ejemplos:

1. La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
2. La categoría $\mathbf{Vect}_{\mathbb{K}}$ de los espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb{K}$ junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a $\mathbb{K}$ como el elemento neutro.

Véase también

Grupo Monoide Semigrupo Magma Operación matemática Operación interna Asociatividad Elemento neutro Elemento simétrico

Bibliografía

1. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando (en español). Álgebra lineal (2 edición). Ediciones Pirámide, S.A.. ISBN 978-84-368-0174-3. 

Enlaces externos

Enciclopedia Libre Universal en Español: Monoide

CIENCIA.NET: Monoide