Anillo de fracciones

Anillo de fracciones

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En Álgebra conmutativa son interesantes a menudo los anillo de fracciones que constituyen una generalización del concepto de cuerpo de fracciones.

Construcción del anillo de fracciones de un anillo

Sea $A\,$ un anillo (conmutativo y unitario) y $S\,$ un subconjunto multiplicativamente cerrado de $A\,$. Consideremos en $A \times S$ la relación binaria

  $(a,s)\!\sim\!(b,t)\ \Leftrightarrow\ \exists u\!\in\!S\ /\ u(at-bs)=0$

Es fácil comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente $A \times S \over \sim$ que denotaremos por $S^{-1}A\;$. Indicaremos por $a/s\;$ o $a \over s\;$ a la clase del elemento $(a,s)\,$.

Tampoco es difícil comprobar que las operaciones adición y producto

  ${a \over s} + {b \over t} = {at+bs \over st}$
  ${a \over s} \cdot {b \over t} = {ab \over st}$

están bien definidas y dotan a $S^{-1}A\;$ de una estructura de anillo conmutativo y unitario.

Así se ha construido el anillo de fracciones del anillo $A\,$ respecto de $S\,$: $(S^{-1}A,+,\cdot)$.

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