Nonio

Nonio en un cañón.

Para la localidad italiana, véase Nonio (Italia).

El nonio o vernier es una segunda escala auxiliar que tienen algunos instrumentos de medición, que permite apreciar una medición con mayor precisión al complementar las divisiones de la regla o escala principal del instrumento de medida.

Historia

Astrolabio con nonio.

Pedro Nunes, conocido también por su nombre latino como Petrus Nonius (Alcácer do Sal, Portugal, 1492 - Coímbra, 1577), matemático, astrónomo y geógrafo portugués, del siglo XVI, inventó en 1514 el nonio: un dispositivo de medida de longitudes que permite –con la ayuda de un astrolabio– medir fracciones de grado de ángulo, mediante una escala auxiliar.

Pierre Vernier (Ornans, 1580 - Ornans, 1637) matemático francés, es conocido por la invención en 1631 de la escala vernier para medir longitudes con gran precisión y basado en el de Pedro Nunes.

Dada la primera invención de Pedro Nunes (1514) y el posterior desarrollo de Pierre Vernier (1631), en la actualidad esta escala se suele denominar como nonio o vernier, siendo empleado uno u otro termino en distintos ambientes. En la rama técnica industrial suele ser más utilizado nonio, si bien el termino vernier es común en la enseñanza y en las ciencias aplicadas. Tomaremos el termino nonio al ser el más antiguo y por tanto el que aportó la idea original, considerando, en todo caso, nonio y vernier como términos sinónimos.

Principio de funcionamiento

El sistema consiste en una regla sobre la que se han grabado una serie de divisiones según el sistema de unidades empleado, y una corredera o carro móvil, con un fiel o punto de medida, que se mueve a lo largo de la regla.

En una escala de medida, podemos apreciar hasta su unidad de división más pequeña, siendo esta la apreciación con la que se puede dar la medición; es fácil percatarse que entre una división y la siguiente hay más medidas, que unas veces está más próxima a la primera de ellas y otras a la siguiente.

Para poder apreciar distintos valores entre dos divisiones consecutivas, se ideó una segunda escala que se denomina nonio o vernier, grabada sobre la corredera y cuyo punto cero es el fiel de referencia. El nonio o vernier es esta segunda escala, no el instrumento de medida o el tipo de medida a realizar, tanto si es una medición lineal, angular, o de otra naturaleza, y sea cual fuere la unidad de medida. Esto es, si empleamos una regla para hacer una medida, solo podemos apreciar hasta la división más pequeña de esta regla; si además disponemos de una segunda escala, llamada nonio o vernier, podemos distinguir valores más pequeños.

El nonio o escala vernier toma un fragmento de la regla –que en el sistema decimal es un múltiplo de diez menos uno: 9, 19, etc.– y lo divide en un número más de divisiones: 10, 20,... En la figura se toman 9 divisiones de la regla y la dividen en diez partes iguales; es el caso más sencillo, de tal modo que cada una de estas divisiones sea de 0,9 unidades de la regla. Esto hace que si la división cero del nonio coincide con la división cero de la regla, la distancia entre la primera división de la regla y la primera del nonio sea de 0,1; que entre la segunda división de la regla y la segunda del nonio haya una diferencia de 0,2; y así, sucesivamente, de forma que entre la décima división de la regla y la décima del nonio haya 1,0, es decir: la décima división del nonio coincide con la novena de la regla, según se ha dicho en la forma de construcción del nonio. Esto hace que en todos los casos en los que el punto 0 del nonio coincide con una división de la regla el punto diez del nonio también lo hace.

$0,0 \,$	$0,4 \,$	$0,6 \,$	$1,0 \,$	$1,3 \,$

Cuando la división uno del nonio coincide con una división de la regla, el fiel está separado 0,1 adelante. De modo general, el fiel indica el número entero de divisiones de la regla, y el nonio indica su posición entre dos divisiones sucesivas de la regla.

Apreciación del nonio

Partiendo de una regla de divisiones iguales y definiendo:

u: unidad de la regla.

Que, salvo que se especifique otro casa, toma el valor uno en la magnitud que mide la regla.

Una escala nonio tiene dos características fundamentales que la definen:

n: número de divisiones del nonio.

k: constante de extensión, que determina la longitud del nonio para una misma apreciación.

Donde n y k son números enteros adimensionales, k mayor o igual que 1, normalmente 1 o 2 cuando se quiere facilitar la lectura.

Y podemos ver otras características derivadas de las primeras:

A: apreciación, medida más pequeña que puede representar.

L: longitud del nonio, distancia entre la primera y ultima división del nonio, medida en la misma unidad de la regla.

S: separación entre dos divisiones sucesivas del nonio, medido en unidades de la regla.

De estas variables solo n y k son independientes y A, L y S dependen de las primeras del siguiente modo, la apreciación es:

$A = \frac{u}{n}$

la longitud del nonio es:

$L = (k \cdot n - 1) \, u$

la separación entre dos divisiones del nonio es:

$S = \cfrac{L}{n} = \cfrac{ k \cdot n - 1 }{n} \; u = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u$

Por lo tanto, tomando como unidad la división de la regla: u, tenemos que la longitud del nonio L es un número entero de veces esa unidad, en la posición en la que la primera división de nonio coincide con una de la regla, la ultima división también coincide con otra división de la regla.

La separación S entre dos divisiones sucesivas del nonio es igual a la constante k, menos la apreciación del nonio A.

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = k \, u - \cfrac{u}{n} = k \, u - A$

Esto es: la separación entre dos divisiones del nonio es k veces la unidades de la regla u, menos la apreciación del nonio A. Dado que la apreciación solo depende del número de divisiones del nonio, podemos tener, para una misma apreciación, distintos valores de S, incrementando en una unidad de la regla, un valor de S dado.

Si dado un nonio que tenga una separación entre sus divisiones:

$S_1 = k_1 \, u - A$

Podemos tener otro nonio con la misma apreciación incrementando en una unidad la separación entre las divisiones de ese nonio:

$S_2 = S_1 + u = k_1 \, u - A + u = (k_1 + 1) \, u - A$

La separación entre las divisiones, del nuevo nonio, sería la que se obtendría incrementando en uno el valor de k:

$S_2 = k_2 \, u - A$

Con lo que podemos obtener, para una misma apreciación A, que depende únicamente del número de divisiones n, distintas separaciones S entre divisiones del nonio y por lo tanto distintas longitudes L del nonio.

Lectura del nonio

Visto lo anterior, tomando una regla graduada en milímetros, u= 1mm, veamos la lectura de un nonio con un poco más de rigor, tomaremos como ejemplo uno de cuatro divisiones y una constante k = 2.

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1mm \\ n = 4 \\ k = 2 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{1mm}{4} = 0,25mm$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (2 \cdot 4 - 1) \; 1mm = 7mm \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 2 - \cfrac{1}{4} \right ) 1mm = 1,75mm$

En la figura podemos ver este nonio de cuatro divisiones, la línea del fiel esta en la línea cero de la regla, y la ultima división del nonio coincide con la séptima de la regla.

La apreciación es un cuarto de la unidad de la regla.

Si la corredera no dispusiese de una escala nonio, no podríamos apreciar medidas inferiores a las de una división de la regla, como ya se menciono antes, en este caso las cuatro divisiones del nonio nos permiten una apreciación de 0,25.

Podemos ver una progresión de medidas de 0,25, y la coincidencia sucesiva de las divisiones del nonio con las de la regla.

Cuando la lectura es cero, el fiel coincide con el cero de la regla, podemos ver que la ultima división del nonio también coincide con una división de la regla.

Al desplazarse la corredera, el fiel avanza respecto a la división cero de la regla, si la primera división del nonio coincide con una división de la regla la lectura es 0,25.

Si la corredera de desplaza mas a la derecha y la segunda división de nonio coincide con una división de la regla, la lectura es 0,5.

Si la tercera división del nonio coincide con una de la regla la lectura es de 0,75.

Cuando la cuarta división del nonio coincide con una división de la regla, también lo hace el fiel, completando una unidad de la regla.

El ciclo se repite, aumentando la medida, cuando la primera división del nonio vuelve a coincidir con una división de la regla la lectura será 1,25. Repitiéndose el proceso en toda la longitud de la regla.

La lectura del valor entero en la regla y la parte decimal en el nonio, con la apreciación que corresponda a su número de divisiones, da lugar a poder realizar lecturas de mediciones con mayor precisión que las unidades de la regla, las distintas formas del nonio o vernier que se pueden construir permite un abanico de instrumentos adaptable a las distintas necesidades, de una forma ingeniosa, económica y de gran calidad en las medidas.

Nonio de 10 divisiones

El primer ejemplo visto, con anterioridad, corresponde a 10 divisiones, con n = 10, tenemos que:

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1 mm \\ n = 10 \\ k = 1 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{1 mm}{10} = 0,1 mm$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (1 \cdot 10 - 1) \; 1 mm = 9 mm \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 1 - \cfrac{1}{10} \right ) 1 mm = 0,9 mm$

En el caso de que k = 2, tendríamos:

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1 mm \\ n = 10 \\ k = 2 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{1 mm}{10} = 0,1 mm$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (2 \cdot 10 - 1) \; 1 mm = 19 mm \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 2 - \cfrac{1}{10} \right ) 1 mm = 1,9 mm$

un nonio de 19 mm de longitud y 10 divisiones tendría la misma apreciación, en el doble de longitud, lo que facilita su lectura, al estar sus divisiones mas separadas.

Otro ejemplo de nonio con n= 10 y k= 4 es el de la imagen.

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1 mm \\ n = 10 \\ k = 4 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{1 mm}{10} = 0,1 mm$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (4 \cdot 10 - 1) \; 1 mm = 39 mm \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 4 - \cfrac{1}{10} \right ) 1 mm = 3,9 mm$

Este caso de nonio en un calibre no es muy usual, siendo su característica más destacada la facilidad de lectura por la gran distancia entre sus divisiones.

En la imagen se ve un calibre con este nonio, cerrado, con lectura 0 mm.

Nonio de 20 divisiones

Podemos ver otro ejemplo, que junto con el anterior, son los más utilizados en el sistema decimal. Con un nonio de 19 de longitud y 20 divisiones, con lo que tendríamos:

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1mm \\ n = 20 \\ k = 1 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{1 mm}{20} = 0,05 mm$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (1 \cdot 20 - 1) \; 1 mm = 19 mm \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 1 - \cfrac{1}{20} \right ) 1 mm = 0,95mm$

Las longitudes del nonio de 10 divisiones y k = 2 y 20 divisiones y k = 1 es la misma: 19 mm, como puede verse, pero en este segundo caso las 20 divisiones dan una apreciación de 0,05. En el caso anterior es de 0,1, por la diferencia en el número de divisiones.

Para un calibre Pie de Rey es la mayor apreciación, dado que divisiones más pequeñas no serian apreciables a simple vista, y seria necesario un equipo óptico auxiliar.

Si consideramos la posibilidad con n=20 y k=2, obtendremos una nonio de mayor longitud con la misma apreciación, así:

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1mm \\ n = 20 \\ k = 2 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{1 mm}{20} = 0,05 mm$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (2 \cdot 20 - 1) \; 1 mm = 39 mm \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 2 - \cfrac{1}{20} \right ) 1 mm = 1,95mm$

En la imagen podemos ver este caso, la apreciación del instrumento es alta: 0,05mm, pero su lectura a simple vista resulta difícil, en la imagen puede verse en 3,50mm y difícilmente podemos determinar si la lectura es 3,45mm ó 3,55mm. El limite de la escala nonio viene determinada por la agudeza de visibilidad humana, que no supera 0,1mm con ciertas garantias.

Nonio de 50 divisiones

Veamos un nonio de gran apreciación, el de 50 divisiones, sobre una regla en milimetros.

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1mm \\ n = 50 \\ k = 1 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{1 mm}{50} = 0,02 mm$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (1 \cdot 50 - 1) \; 1 mm = 49 mm \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 1 - \cfrac{1}{50} \right ) 1 mm = 0,98mm$

Un nonio de 50 divisiones es el de la fotografía.

La apreciación del instrumento, una división del nonio, equivale a 0,02, cada cinco divisiones son 0,02 * 5 = 0,1. En el nonio o escala vernier, se puede ver que cada cinco divisiones están marcadas con un número del 0, para indicar el fiel y comienzo de la escala, y correlativamente del 1 al 10 indicando las décimas de milímetro.

La segunda fotografía representa en detalle el nonio de la misma imagen, indicando la lectura: 3,58, con dos trazos rojos, uno indica el 3, el valor de la regla anterior al fiel, y la otra la cuarta marca después del 5 en el nonio.

Aun tratándose de una fotografía ampliada, el señalar una lectura con más precisión de 3,6 es dificultosa. Es fácil percatarse de las dificultades de este calibre para diferenciar medidas de esta precisión, y aunque si se fabrican y comercializan calibres de esta apreciación, en la practica, resultaría poco útil internar realizar mediciones de más apreciación que 0,05 mm en un calibre a simple vista.

Uso del nonio

El uso del nonio en los instrumentos de medida esta muy generalizado, y se emplea en todo tipo de medidas, es el calibre, sin lugar a dudas, donde su utilización es más general y popular.

Este instrumento de medida, de gran precisión, por su bajo coste, es versátil y practico, ha alcanzado una amplia difusión en los más distintos ámbitos.

Nonio en la escalas sexagesimal

Hasta ahora hemos visto nonios o escala vernier, en el sistema decimal, cuando una unidad inferior es la décima parte, esto es, un dígito a la derecha del anterior. En sistemas no decimales, como por ejemplo el sexagesimal, también se emplea este sistema de medición y la escala del nonio se puede representar en la unidad inferior.

En el sistema sexagesimal, el de medida de ángulos, por ejemplo; en grados, minutos y segundos, donde un grado son sesenta minutos y un minuto sesenta segundos, podemos emplear un nonio del siguiente modo:

Partiendo de una regla graduada en grados sexagesimal podemos ver que:

$u = 1^\circ$

y sabemos que:

$1^\circ = 60^\prime$

la apreciación del nonio es:

$A = \frac{u}{n}$

donde n es el número de divisiones, y la apreciación vendrá dada en grados sexagesimal, por tanto podemos decir:

$A = \frac{1^\circ}{n} = \frac{60^\prime}{n}$

donde la apreciación vendrá dada en minutos sexagesimal.

Buscando el número n de divisiones entre los divisores de sesenta, tendremos una escala en minutos, por ejemplo para n = 6, la apreciación será de 10 minutos:

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1^\circ = 60^\prime \\ n = 6 \\ k = 1 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{60^\prime}{6} = 10^\prime$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (1 \cdot 6 - 1) \; 1^\circ = 5^\circ \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 1 - \cfrac{1}{6} \right ) 60^\prime = 50^\prime$

Si hacemos k = 2, tendremos una longitud mayor, con lo que conseguimos unas divisiones más separadas, dando más claridad a la lectura y permitiendo grabar los valores de las divisiones en algunos casos:

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1^\circ = 60^\prime \\ n = 6 \\ k = 2 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{60^\prime}{6} = 10^\prime$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (2 \cdot 6 - 1) \; 1^\circ = 11^\circ \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 2 - \cfrac{1}{6} \right ) 60^\prime = 1^\circ 50^\prime$

Esto es valido para distintos valores de n, procurando en toda caso, que el valor de la apreciación, resulte practica dando números redondos en la unidad que nos interesa, veamos otro ejemplo.

Si tomamos un valor de n = 20 y k = 1, nos dará:

$\left \{ \begin{array}{l} u = 1^\circ = 60^\prime \\ n = 20 \\ k = 1 \end{array} \right .$

$A = \frac{u}{n} = \frac{60^\prime}{20} = 3^\prime$

$L = (k \cdot n - 1) \; u = (1 \cdot 20 - 1) \; 1^\circ = 19^\circ \,$

$S = \left ( k - \cfrac{1}{n} \right ) u = \left ( 1 - \cfrac{1}{20} \right ) 60^\prime = 57^\prime$

Con lo que tenemos una apreciación de 3 minutos de grado, en una escala clara y perfectamente coherente con el sistema de medida empleado.

Véase también

• Regla graduada
• Cinta métrica
• Transportador
• Goniómetro
• Calibre (instrumento)
• Micrómetro (instrumento)

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre NonioCommons.
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