Notación matemática

Notación matemática

La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una operación, una entidad matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Algunos principios básicos son:

  • Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva:  \scriptstyle a, \, b, \, i, \, k, \, x, \,y , etc.
  • Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda:  \scriptstyle \cos \alpha, \, \exp x, etc.; en lugar de  \scriptstyle \ln x no debe escribirse  \scriptstyle lnx, porque eso representaría el producto  \scriptstyle l \cdot n \cdot x en lugar del logaritmo neperiano.
  • Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales ( \scriptstyle  \text{e}, \, \text{i} ), también se escriben con letra redonda:  \scriptstyle a \text{e}^x.[1]

Contenido

Teoría de conjuntos

Sean x un elemento y A,B conjuntos

Operación Notación Se lee
pertenencia x\in A x pertenece a A
inclusión A\subset B A está contenido en B
A\subseteq B A está contenido en B o es igual que B
inclusión A\supset B A contiene a B
A\supseteq B A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo x\not\in A es "x no pertenece a A";

Expresiones

Operación Notación Se lee
igualdad x = y x es igual a y
menor que x < y x es menor que y
mayor que x > y x es mayor que y
aproximado  x \approx y x es aproximadamente igual a y
Notación Se lee
cuantificador universal \forall x\ ... para todo x
cuantificador existencial \exists x\ ... Existe por lo menos un x
cuantificador existencial con marca de unicidad \exists! x\ ... Existe un único x
tal que x \mid y o bien x \ni y x, tal que y
por lo tanto x \therefore y x, por lo tanto y

Ejemplo:

Teorema de Weierstrass:

"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b.

Se tiene que:

  • La función f está acotada.
  • La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no necesariamente únicos."

Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:

"  f : [a,b] \subseteq \mathbb R \longrightarrow \mathbb R, a < b \Longrightarrow \exists r, s \in [a, b] \mid f(r) \leq f(x) \leq f (s), \forall x \in [a,b] ".

Lógica proposicional, Álgebra de Boole

Operadores básicos

Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y la negación.

Sean p y q dos proposiciones

Operación Notación Se lee
Negación \neg p no p
Conjunción p \and q p y q
Disyunción p \or q p ó q

Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.

Implicación

Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe p \to q o p \Rightarrow q como abreviatura de \neg p \or q. La declaración "p implica q" es falsa siempre que p sea verdad pero no necesariamente q.

Si p \Rightarrow q y q \Rightarrow p, se escribe p \Leftrightarrow q, que se lee "p implica y es implicada por q", o bien "p si y sólo si q".

Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:


Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.

Conjunción|Salgo tarde \and no tengo vehículo \Rightarrow llegaré tarde al trabajo.


Si decimos Aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación expresada en nuestro hablar cotidiano entonces podríamos asegurar que Aquí hay alguien.

Negación|\neg hay nadie \Rightarrow Aquí hay alguien


Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez.

Disyunción| viajo en bus \or viajo en mi auto \Rightarrow o lo uno o lo otro


Si mi empresa no produce nada quiere decir que mi empresa 'produce algo'.

Negación|\neg produce nada \Rightarrow Produce algo

Cuantificadores

Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí están los símbolos.

Nombre Notación Se lee
cuantificador universal \forall x\ldots Para todo x...
cuantificador existencial \exists x\ldots Existe por lo menos un x...
cuantificador existencial con marca de unicidad \exists| x\ldots Existe un único x...

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma \forall x\ ,\ p \quad o \quad \exists y \mid q que se leen "para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".

En realidad, estos dos últimos cuantificadores son iguales, ya que \neg \forall x\ ,\ p dice lo mismo que dice \exists x / \neg p. En palabras, decir "no es para todo x que p es verdad" es igual que decir "existe x tal que p es falsa".

Teoría de números

Conjuntos numéricos especiales

\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}
\mathbb{N}_0 =\mathbb{N}^{*} =\mathbb{N}\cup\{0\}= \{0,1,2,3,\ldots\}
\mathbb{Z} = \{\ldots -3,-2,-1,0,1,2,3\ldots\}
\mathbb{Z}^+ = \mathbb{N} = \mathbb{Z}\setminus\mathbb{Z}^-\setminus\{0\} = \{1,2,3,\ldots\}
\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a, b \in\mathbb{Z} \quad \and \quad b\neq 0\}
\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a \in\mathbb{Z} \quad \and \quad b \in\mathbb{N} \}
\mathbb{R} = \{El \; conjunto \; de \; los \; n \acute{u} meros \; reales \}
\mathbb{I} =\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\overline{\mathbb{R}} =\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} = \{ La \; recta \; real \; ampliada \}
\mathbb{C} = \{ c: \quad c = a + b \cdot i \quad / \quad a, b \in\mathbb{R}\quad \and \quad i^2 = -1 \}
\mathbb{S}^1 = \{z\in\mathbb{C} \colon \|z\|=1\}

Análisis matemático

Análisis real

Límites

Para decir que el límite de la función f es L cuando x tiende á a, se escribe:

\lim_{x \to a} f(x) =  L o bien f(x) \to L.

Igualmente, para decir que la sucesión {an} va á a cuando n tiende a la infinidad, se escribe:

\lim_{n \to \infty} a_n = a o bien a_n \to a.

Derivadas

Derivadas ordinarias

Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una función de una sola variable:

 y= f(x) \,

Las derivadas serian:

 y' \quad f'(x) \quad \frac{d}{dx}f(x) \quad \frac{dy}{dx}  \quad D_x (y) \quad D_x (f(x))
Derivadas parciales

Si la función depende de dos o mas variable, por ejemplo:

 z= f(x,y) \,

Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:


   \frac{\partial z}{\partial x} \quad
   \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \quad
   \frac{\partial z}{\partial y} \quad
   \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)

   \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \quad
   \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y) \quad
   \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \quad
   \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) \quad
   \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \quad
   \frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)

Misceláneos

Funciones

Para decir que una función f va desde el espacio X al espacio Y, se escribe  \scriptstyle f:X \to Y.

Tabla de Símbolos

En matemática, existe un conjunto de símbolos que son frecuentemente utilizados en la formación de expresiones matemáticas. Debido a que los matemáticos están familiarizados con estos símbolos, los mismos no requieren ser explicados cada vez que se utilizan.

En vista de esto, para beneficio de los matemáticos novatos, la tabla siguiente lista muchos de estos símbolos comunes, junto con su nombre, pronunciación y el campo de las matemáticas con el que se relacionan. Adicionalmente, la segunda línea contiene una definición informal, mientras que la tercera provee un ejemplo breve.

Nota: Si algunos de los símbolos no se muestran correctamente en tu pantalla, podría ser que tu navegador no implemente correctamente el estándar HTML 4 sobre codificación de caracteres o, alternativamente, que te falte instalar alguna fuente requerida adicional.

Notas

  1. Aunque en ocasiones, es complicado adherirse a esta regla. Considérese, por ej. que el TeX genera todas las letras individuales en cursivas; para que aparezcan en redondas, hay que efectuar el cambio de la fuente.

Véase también

Enlaces externos


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