Notación multi-índice

La notación multi-índice es un tipo de abreviación usado en cálculo de varias variables y análisis funcional para escribir abreviadamente ciertas expresiones matemáticas. Esencialmente un multi-índice $\alpha\,$ es una n-tupla de números enteros, cuya medida $|\alpha|\,$ viene dada por:

$\alpha = (\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\mathbb{N}^n, \qquad |\alpha| = \alpha_1+\alpha_2\dots+\alpha_n$

Derivación

Los multi-índices son frecuentemente usados para resumir derivadas parciales de una función de n variables:

$D^\alpha f \equiv \frac{\part^{|\alpha|}f}{\part x_1^{\alpha_1} \part x_2^{\alpha_2} \dots \part x_n^{\alpha_n}}$

Polinomios

Los multi-índices pueden usarse para abreviar de manera sencilla la escritura de un monomio del anillo de polinomios $K[X_1,X_2,\dots,X_n]$. La expresión $X^\alpha\,$ escrita mediante multi-índice $\alpha\,$ representa el monomio de n variables dado por:

$X^\alpha \equiv X_1^{\alpha_1} X_2^{\alpha_2} \dots X_n^{\alpha_n}$