Número armónico


Número armónico
El número armónico Hn,1 con n=\lfloor{x}\rfloor (gráfica roja) con su límite asintótico γ + log x (gráfica azul).

En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales:

H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}


Éste también es igual a n veces el inverso de la media armónica.

Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica. Están íntimamente relacionados con la función zeta de Riemann, y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales.


Contenido

Representación

La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler:

 H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx.

En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula

 \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n + 1},

y luego

 x^{n} + \frac{1 - x^n}{1 - x} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}

dentro de la integral.

Para los números naturales, Hn también se puede representar como:

 H_n = \sum_{k=0}^{n-1}\int_0^1 x^k\,dx


Hn crece igual de rápido que el logaritmo natural de n. La razón es que la suma está aproximada por la integral

\int_1^n {1 \over x}\, dx

cuyo valor es log(n). Concretamente, tenemos el siguiente límite:

 \lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma

(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).

Y también, como la correspondiente expansión asintótica:

H_n = \gamma + \log{n} + \frac{1}{2}n^{-1} - \frac{1}{12}n^{-2} + \frac{1}{120}n^{-4} + \mathcal{O}(n^{-6})

Funciones generatrices

Una función generatriz que indexa los números armónicos es

\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\log(1-z)}{1-z},

donde log(z) es el logaritmo natural. Otra función generadora exponencial que indexa a los números armónicos es:

\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n = -e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \frac {(-z)^k}{k!} = e^z \mbox {Ein}(z)

donde Ein(z) es la integral exponencial entera. Nótese que

\mbox {Ein}(z) = \mbox{E}_1(z) + \gamma + \log z = \Gamma (0,z) + \gamma + \log z\,

donde Γ(0,z) es la función gamma incompleta.

Aplicaciones

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de expresiones del cálculo, como por ejemplo, esta expresión de la función digamma:

 \psi(n) = H_{n-1} - \gamma.\,

Esta relación es también utilizada frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a números no enteros n. Los números armónicos también son utilizados frecuentemente para definir γ, usando el límite antes definido en la anterior sección, aunque

 \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty}{\left(H_n - \log\left(n+{1 \over 2}\right)\right)}

éste converge más rápidamente.


En 2001 Jeffrey Lagarias provó que la hipótesis de Riemann es equivalente a decir que:

 \sigma(n) \le H_n + \log(H_n)e^{H_n},

es cierto para cualquier número entero n ≥ 1 con la desigualdad estricta si n > 1; Aquí σ(n) denota la suma de los divisores de n.

Generalizaciones

Números armónicos generalizados

Los Números armónicos generalizados de orden n de m están dados por la expresión:

 H_{n,m}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}

Nótese que el límite cuando n tiende a infinito existe si m > 1.

Otras notaciones ocasinalmente utilizadas, son:

H_{n,m}= H_n^{(m)} = H_m(n)

El caso especial de m = 1 es simplemente el n-ésimo número armónico y suele escribirse sin el índice superior.

 H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

En el límite, cuando n\rightarrow \infty, los números armónicos generalizados convergen a la función zeta de Riemann.

 \lim_{n\rightarrow \infty} H_{n,m} = \zeta(m)

Al igual que en la suma \sum_{k=1}^n k^m aparecen los números de Bernoulli, en los números armónicos generalizados aparecen los números de Stirling.

Una función generatriz para los números armónicos generalizados es:

\sum_{n=1}^\infty z^n H_{n,m} = \frac {\mbox{Li}_m(z)}{1-z}

donde Lim(z) es el polilogaritmo, and | z | < 1. La función generatriz dada arriba, es un caso especial de esta fórmula cuando m = 1.

Generalización al plano complejo

De la fórmula integral de Euler para los números armónicos se obtiene la siguiente identidad:

\int_a^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx = - \sum_{k=1}^\infty \frac {1}{k} {s \choose k} (a-1)^k

la cual se cumple para un número complejo s general, utilizando una extensión adecuada de los coeficientes binomiales. Escogiendo a = 0, esta fórmula da ambas representaciones (integral y en forma de serie) para una función que genera los números armónicos y extiende la definición al plano complejo. Esta relación integral se obtiene fácilmente por manipulación del binomio de Newton:

\sum_{k=0}^\infty {s \choose k} (-x)^k = (1-x)^s

concretamente, del binomio generalizado de Newton. La función interpolada es justamente la función digamma, así:

\psi(s+1)+\gamma = \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx

donde ψ(x) es la función digamma, y γ es la constante de Euler-Mascheroni. El proceso de integración se puede repetir para obtener

H_{s,2}=-\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k}{k} {s \choose k} H_k

Referencias

Enlaces externos

  • http://www.EulerArchive.org (en inglés)
  • Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes, E43 (en latín) [1]
  • Ed Sandifer: "How Euler Did It.Gamma the constant" (en inglés) [2]
  • Ed Sandifer, How Euler Did It.Estimating the Basel problem (en inglés) [3]
  • Harmonic number at Mathworld (en inglés)[4]

Wikimedia foundation. 2010.

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