Número de Bernoulli

En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por B_n y, a veces, por b_n con el fin de distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales con profundas conexiones en teoría de números.

Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer matemático que los estudió. Los números de Bernoulli también aparecen en la expansión de las funciones tangente y tangente hiperbólica mediante series de Taylor, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función zeta de Riemann.

Introducción

Históricamente, surgieron de los intentos de obtener una forma cerrada de la suma de potencias de números naturales $\sum_{k=0}^{m-1} k^n = 0^n + 1^n + 2^n + \cdots + {(m-1)}^n$

Las formas cerradas de la expresión son siempre polinomios en m de orden n + 1. Se obtuvo una de dichas formas mediante polinomios de Bernoulli y otra mediante el uso de números de Bernoulli:

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}.$

Por ejemplo, si n = 1, tenemos que $0 + 1 + 2 + \cdots + (m-1) = 1/2 \ (B_0 m^2 + 2 B_1 m) = 1/2 \ (m^2 - m)$.

Definición de los números de Bernoulli

Se pueden definir de diversas formas equivalentes:

• Como los términos independientes de los polinomios de Bernoulli $\textstyle B_n(x)$ correspondientes.
• Mediante una función generatriz G(x), en este caso:

$G(x) = \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!} \quad \mbox{si} \quad |x|< 2\pi$

donde cada coeficiente B_n de la serie de Taylor es el n-ésimo número de Bernoulli.

• Mediante la siguiente fórmula recursiva:

$B_0 = 1 \,$

$B_m= -\sum_{j=0}^{m-1}{m\choose{j}} {{B_j} \over {m+1-j}}$

El primer algoritmo para la generación automática de números de Bernoulli fue descrito por primera vez por Ada Byron en sus notas sobre la máquina analítica de Charles Babbage a principios del siglo XVIII.

Algunos valores

A continuación se ofrecen los primeros números de Bernoulli (las sucesiones completas de numeradores y denominadores en OEIS son, respectivamente, A027641 y A027642):

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Bn	1	−1/2	1/6	0	−1/30	0	1/42	0	−1/30	0	5/66	0	−691/2730	0	7/6	0	−3617/510	0	43867/798	0	−174611/330

Se puede demostrar que B_n = 0 para todo n impar distinto de 1. La peculiar forma del valor de $B_{12}=- {{691} \over {2730}}$ parece señalar que los valores de los números de Bernoulli no tienen una descripción elemental; de hecho, esencialmente son valores de la función zeta de Riemann para enteros negativos y están asociados a propiedades profundas de la teoría de los números y, por ello, no se espera que tengan una formulación trivial.

Identidades relacionadas

Leonhard Euler expresó los números de Bernoulli en términos de la función zeta de Riemann con la expresión siguiente:

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.$

Propiedades aritméticas

Como ya se ha indicado, los números de Bernoulli pueden expresarse en términos de la función zeta de Riemann, lo que implica que en esencia, son valores de la función zeta para los enteros negativos. Así, se puede esperar que tengan propiedades aritméticas de índole no trivial, un hecho que fue descubierto por Ernst Kummer en sus trabajos sobre el Último teorema de Fermat.

Las propiedades de los números de Bernoulli relacionados con su divisibilidad se relacionan con los grupos ideales de campos ciclotómicos gracias al teorema de Kummer y se refuerzan gracias al teorema de Herbrand-Ribet; también se relacionan con los campos cuadráticos gracias al las proposiciones de Ankey-Artin-Chowla. Tienen también conexión con las teorías-K algebraicas; si c_n es el numerador de $B_n \over {2 n}$, entonces el orden de $K_{4n-2}(\Bbb{Z})$ es − c_2n si n es par y 2c_2n si n es impar.

Además, relacionada con la cuestión de la divisibilidad, existe un teorema (von Staudt-Clausen) que nos indica que si sumamos 1/p a B_n para todo número primo p tal que p − 1 | n, el resultado es un número entero. Este hecho nos permite caracterizar de forma inmediata a los denominadores de los números de Bernoulli B_n distintos de cero como el producto de todos los números primos p tales que p − 1 | n. En consecuencia los denominadores están libres de cuadrados y son divisibles por 6.

Finalmente, otro resultado (la conjetura de Argoh-Giuga) postula que p es un número primo si y solo si $p B_{p-1} \cong -1 \bmod\, p$.

Continuidad p-ádica

Una importante propiedad relacionada con la congruencia de los números de Bernoulli es la denominada propiedad de la "continuidad p-ádica". Esta propiedad reza lo siguiente: si b,m y n son enteros positivos tales que m y n no son divisibles por p − 1 y $m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1)$, entonces $(1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b$.

Y, puesto que B_n = − nζ(1 − n), también puede escribirse como $(1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b\,,$, donde u = 1 − m y v = 1 − n, de forma que u y v ni son positivos ni son congruentes con $1 \bmod\, p - 1$. En esencia, esto lo que nos indica es que la función zeta de Riemann, con 1 − p^z extraídos de la fórmula del producto de Euler, es continua tanto en los números p-ádicos como en los números enteros negativos congruentes $\bmod \, p - 1$ con un a concreto tal que $a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1$, lo que permite extender el resultado a una función continua ζ_p(z) para todos los enteros p-ádicos $\Bbb{Z}_p,\,$ en lo que se denomina la función Zeta p-ádica

Véase también

• Polinomios de Bernoulli

Enlaces externos

• The Bernoulli Number Page
• Weisstein, Eric W. «Número de Bernoulli» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.