Número primo de Mersenne

Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. M_n = 2ⁿ − 1.

Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo, es decir, M_n = 2ⁿ − 1, con n primo (no es una condición suficiente que n sea primo para que M_n lo sea). Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien en su Cognitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista sólo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyó M₆₇ y M₂₅₇, que son compuestos, y omitió M₆₁, M₈₉, y M₁₀₇, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa sólo se completó más de dos siglos después.

Actualmente (abril de 2011), sólo se conocen 47 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos M_43.112.609 = 2^43.112.609−1, un número de casi trece millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

Lista de los números primos de Mersenne conocidos

Gráfico que representa el número de cifras de cada uno de los primos de Mersenne conocidos. Nótese que la escala vertical es logarítmica.

Gráfico del número de dígitos del primo de Mersenne más grande que se conocía cada año (era electrónica). La escala vertical es logarítmica.

La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos:

#	n	Mn	Nº de cifras de Mn	Fecha del descubrimiento	Descubridor
1	2	3	1	antigüedad	desconocido
2	3	7	1	antigüedad	desconocido
3	5	31	2	antigüedad	desconocido
4	7	127	3	antigüedad	desconocido
5	13	8191	4	1456	anónimo
6	17	131071	6	1588	Cataldi
7	19	524287	6	1588	Cataldi
8	31	2147483647	10	1772	Euler
9	61	2305843009213693951	19	1883	Pervushin
10	89	618970019…449562111	27	1911	Powers
11	107	162259276…010288127	33	1914	Powers
12	127	170141183…884105727	39	1876	Lucas
13	521	686479766…115057151	157	30-01-1952	Robinson (SWAC)
14	607	531137992…031728127	183	30-01-1952	Robinson (SWAC)
15	1.279	104079321…168729087	386	25-06-1952	Robinson (SWAC)
16	2.203	147597991…697771007	664	07-10-1952	Robinson (SWAC)
17	2.281	446087557…132836351	687	09-10-1952	Robinson (SWAC)
18	3.217	259117086…909315071	969	08-09-1957	Riesel
19	4.253	190797007…350484991	1.281	03-11-1961	Hurwitz
20	4.423	285542542…608580607	1.332	03-11-1961	Hurwitz
21	9.689	478220278…225754111	2.917	11-05-1963	Gillies
22	9.941	346088282…789463551	2.993	16-05-1963	Gillies
23	11.213	281411201…696392191	3.376	02-06-1963	Gillies
24	19.937	431542479…968041471	6.002	04-03-1971	Tuckerman
25	21.701	448679166…511882751	6.533	30-10-1978	Noll y Nickel
26	23.209	402874115…779264511	6.987	09-02-1979	Noll
27	44.497	854509824…011228671	13.395	08-04-1979	Nelson y Slowinski
28	86.243	536927995…433438207	25.962	25-09-1982	Slowinski
29	110.503	521928313…465515007	33.265	28-01-1988	Colquitt y Welsh
30	132.049	512740276…730061311	39.751	20-09-1983	Slowinski
31	216.091	746093103…815528447	65.050	06-09-1985	Slowinski
32	756.839	174135906…544677887	227.832	19-02-1992	Slowinski y Gage
33	859.433	129498125…500142591	258.716	10-01-1994	Slowinski y Gage
34	1.257.787	412245773…089366527	378.632	03-09-1996	Slowinski y Gage
35	1.398.269	814717564…451315711	420.921	13-11-1996	GIMPS / Joel Armengaud
36	2.976.221	623340076…729201151	895.932	24-08-1997	GIMPS / Gordon Spence
37	3.021.377	127411683…024694271	909.526	27-01-1998	GIMPS / Roland Clarkson
38	6.972.593	437075744…924193791	2.098.960	01-06-1999	GIMPS / Nayan Hajratwala
39	13.466.917	924947738…256259071	4.053.946	14-11-2001	GIMPS / Michael Cameron
40	20.996.011	125976895…855682047	6.320.430	17-11-2003	GIMPS / Michael Shafer
41[*]La plantilla {{Note label}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.	24.036.583	299410429…733969407	7.235.733	15-05-2004	GIMPS / Josh Findley
42[*]La plantilla {{Note label}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.	25.964.951	122164630…577077247	7.816.230	18-02-2005	GIMPS / Martin Nowak
43[*]La plantilla {{Note label}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.	30.402.457	315416475…652943871	9.152.052	15-12-2005	GIMPS / Curtis Cooper y Steven Boone
44[*]La plantilla {{Note label}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.	32.582.657	124575026…053967871	9.808.358	04-09-2006	GIMPS / Curtis Cooper y Steven Boone
45[*]La plantilla {{Note label}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.	37.156.667	202254406…308220927	11.185.272	06-09-2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46[*]La plantilla {{Note label}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.	42.643.801	169873516…562314751	12.837.064	12-04-2009	GIMPS / Odd M. Strindmo
47[*]La plantilla {{Note label}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.	43.112.609	316470269…697152511	12.978.189	23-08-2008	GIMPS / Edson Smith

*No se conoce si existen más números primos de Mersenne entre el 39 (M_13.466.917) y el 47 (M_43,112,609) por lo tanto, esta tabla es provisional. Por poner un ejemplo histórico, el 29º número primo de Mersenne fue descubierto después del 30º y el 31º.

Propiedades

Si n es compuesto, entonces Mn es compuesto.

Demostración
Si n es un número natural, por el teorema binomial se tiene:

$c^n-d^n=(c-d)\sum_{k=0}^{n-1} c^kd^{n-1-k}$,

Tomando c = 2, d = 1 y n = ab (a, b > 1), se tiene:

$M_{n}=M_{ab}=2^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1^{b}=(2^a-1)\sum_{k=0}^{b-1} (2^{a})^k1^{b-1-k}=(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a}\right)$

2^a − 1 es mayor que 1 porque se ha procurado que a es estrictamente mayor que 1, y la suma $1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a}$ también lo es. Por tanto, se tiene una factorización de M_n, así que M_n es compuesto.

Observación: Por contraposición, si M_n es primo, entonces n es primo. Esto facilita la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne M_n, ya que sólo hay que comprobar la primalidad de aquellos para los que n es primo.

Si p es un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida a 2p-1 debe ser uno más que un múltiplo de 2p. Esta proposición también se cumple si 2p − 1 es primo.

• Ejemplo I: 2⁵ − 1 = 31 es primo, y 31 es igual a 1 más un múltiplo de 2·5.
• Ejemplo II: $2^{11}-1=23\cdot 89$, siendo:

23 = 1 + 2 · 11

89 = 1 + 8 · 11

23 · 89 = 1 + 186 · 11

Demostración

Si q divide 2p - 1, entonces 2p ≡ 1 (mod q). Por el Pequeño Teorema de Fermat, 2(q − 1) ≡ 1 (mod q). Supongamos que existe un p que no divida q − 1. Entonces, como p y q − 1 deben ser primos entre sí, una nueva aplicación del Pequeño Teorema de Fermat muestra que (q − 1)(p − 1) ≡ 1 (mod p). Por tanto, existe un número x ≡ (q − 1)(p − 2) tal que (q − 1)·x ≡ 1 (mod p), y por tanto un número k tal que (q − 1)·x − 1 = kp.

Como 2(q − 1) ≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de la congruencia a la potencia x resulta 2(q − 1)x ≡ 1, y como 2p ≡ 1 (mod q), al elevar de nuevo ambos lados de la congruencia a la potencia k resulta 2kp ≡ 1. Por tanto, 2(q − 1)x ÷ 2kp = 2(q − 1)x − kp ≡ 1 (mod q). Pero por definición (q − 1)x − kp = 1, lo que implica que 21 ≡ 1 (mod q); en otras palabras, que q divide 1. Con esto, la premisa inicial de que p no divide q − 1 es insostenible.

Si p es un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida 2p − 1 es congruente con $\pm 1 \pmod 8$.

Demostración

2^{p + 1} = 2(mod q), así que 2^{(p + 1) / 2} es una raíz cuadrada de 2 módulo q.
Por reciprocidad cuadrática, cualquier módulo primo del cual 2 tenga raíz cuadrada es congruente con $\pm 1 \pmod 8$.

Preguntas abiertas

Desmentida la conjetura original de Mersenne (que establecía una lista de números primos de Mersenne menores o iguales que M₂₅₇ y afirmaba que no existían más que esos), han surgido otras preguntas abiertas relacionadas con la caracterización de estos números. En particular, la conjetura de Bateman, Selfridge and Wagstaff (1989) también recibe el nombre de "Nueva conjetura de Mersenne".

Nueva conjetura de Mersenne

La Nueva conjetura de Mersenne o Conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cada número natural impar p, si se cumplen dos de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera:

1. p = 2^k ± 1 o p = 4^k ± 3 para algún número natural k.
2. 2^p − 1 es primo (un número primo de Mersenne).
3. (2^p + 1) / 3 es primo (un número primo de Wagstaff).

Si p es un número compuesto impar, entonces tanto 2^p − 1 como (2^p + 1)/3 son compuestos. Por tanto, sólo es necesario examinar números primos para verificar esta conjetura.

Se puede pensar que la nueva conjetura de Mersenne es un intento de rescatar la centenaria conjetura original de Mersenne, que se demostró falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge declaró que la NCM es "obviamente cierta" ya que fue elegida con el fin de encajar en los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son progresivamente más improbables. Se puede considerar más como una observación que como una pregunta abierta en busca de respuesta. Su página web contiene la verificación de los resultados obtenidos hasta este número.

Conjetura de Lenstra–Pomerance–Wagstaff

Lenstra, Pomerance y Wagstaff han conjeturado que no sólo existe un número infinito de primos de Mersenne, sino que el número de primos de Mersenne con exponente p menor que x se puede aproximar asintóticamente por

$e^\gamma\cdot\log_2(x)$,

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y $e^\gamma = 1.781072417990197\dots$

Relación con otras categorías de números

Números perfectos

Euclides, muchos siglos antes que Mersenne, ya conocía estos números y encontró una fuerte relación entre ellos y los números perfectos. Si M es un número primo de Mersenne, entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. Asimismo, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.

Números dobles de Mersenne

Un número doble de Mersenne se define como:

$M_{M_p} = 2^{2^p-1}-1$

donde p es el exponente de un número primo de Mersenne.

Números repunit

Los números repunit (del inglés repeated unit, "unidad repetida") son los que, en una base dada, se representan como una cadena de unos. Los números de Mersenne son los números repunit en el sistema binario.

Véase también

• Constante de Erdős–Borwein
• Número perfecto
• Número primo de Fermat
• Número primo de Wagstaff
• Número primo de Wieferich
• Repunit
• Test de Lucas-Lehmer

Referencias

Enlaces externos

• Sección dedicada a los números primos de Mersenne en The Prime Pages, en inglés
• GIMPS: proyecto distribuido de búsqueda de números primos de Mersenne, en inglés.
• Determinación geométrica de los números primos y perfectos