Número periódico


Número periódico

Un número periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como \tfrac{1}{3}=0,\boldsymbol{3}\,333\dots o \tfrac{1}{7}=0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo \tfrac{2}{3} = 0, \widehat{6} o \tfrac{12}{11} = 1, \widehat{09}.

Contenido

Tipos de números periódicos

Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.

  • Ejemplo: 0,999\dots

Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.

  • Ejemplo: 1.23444\dots = 1.23 \bar{4}, en donde 23 es el anteperíodo.

Fracción correspondiente a un número periódico

Números periódicos
\begin{array}{l} 1/9  = 0,111111111111...\\ 1/7  = 0,142857142857...\\ 1/3  = 0,333333333333...\\ 2/27  = 0,074074074074...\\ 7/12 = 0,58333333333...\end{array}

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

\begin{alignat}2
   x &= 0,333333\ldots\\
 10x &= 3,333333\ldots&\quad&\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}\\
  9x &= 3          &&\text{(restando segunda fila menos primera fila)}\\
   x &= 3/9 = 1/3   &&\text{(simplificando)}\\
\end{alignat}

Otro ejemplo:

\begin{align}
    x &= 2,85636363\ldots\\
 100x &= 285,63636363\ldots\\
  99x &= 282,78 \\
    x &= \frac{282,78}{99} = \frac{28278}{9900} = \frac{1571}{550}.
\end{align}

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

  • Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
    • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
    • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período
Ejemplo: 5,34\ 34\dots=\frac{534-5}{99}=\frac{529}{99}
  • Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
    • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
    • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplo: 12,345\ 67\ 67\ 67\dots=\frac{1234567-12345}{99000}=\frac{1222222}{99000}=\frac{611111}{49500}.

Tipo de número periódico resultante

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.
Por ejemplo: \tfrac{7}{20}, como 20=2×2×5, será exacta; en efecto \tfrac{7}{20}=0,35
Otro ejemplo: \tfrac{7}{25}, como 25=5×5, será exacta; en efecto \tfrac{7}{25}=0,28
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:
Por ejemplo \tfrac{5}{21}, como 21=3×7, será periódica pura; en efecto \tfrac{5}{21}=0,238095\ 238095\ 238095\dots
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:
Por ejemplo \tfrac{5}{42}, como 42=2×3×7, será periódica mixta; en efecto \tfrac{5}{42}=0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots

Referencias



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