Número primo de Eisenstein

En matemáticas, un primo de Eisenstein es un entero de Eisenstein

aω + b

que es irreducible (o equivalentemente primo) en el sentido de la teoría de anillos: sus únicos divisores de Eisenstein son las unidades 1, 1+ω, ω, -1, -1-ω, -ω, y el propio aω + b y sus múltiplos unitarios. Aquí ω es la raíz compleja cúbica de la unidad

$\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$

Los primos de Eisenstein son precisamente aquellos enteros de Eisenstein α que satisfacen una de las siguientes condiciones:

1. α es igual al producto de una de las unidades y 1-ω,
2. α es igual al producto de una de las unidades y un primo natural 3n-1,
3. α puede multiplicarse por un entero de Eisenstein de modo tal que el producto sea un primo natural 3n+1.

Los primeros enteros de Eisenstein iguales a un primo natural 3n-1 son:

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137.

listados como la (sucesión A003627 en OEIS). Algunos primos de Eisenstein no reales son

2+ω, 3+ω, 4+ω, 5+2ω, 6+ω, 7+ω, 7+3ω

El conjugado complejo de cualquier primo de Eisenstein es otro; multiplicando un primo de Eisenstein por cualquiera de las unidades 1, 1+ω, ω, -1, -1-ω, -ω también se obtiene un primo de Eisenstein. Excepto por la conjugación y los múltiplos de la unidad, los primos indicados más arriba junto con 2 y 5 son todos los primos de Eisenstein de valor absoluto menor o igual que 7.

En 2005, el mayor primo (real) de Eisenstein conocido es 27653·2^9167433+1, que a su vez es el quinto mayor primo conocido, descubierto por Gordon [1]. Todos los primos mayores que este son primos de Mersenne, descubiertos por GIMPS. Los primos de Eisenstein reales son congruentes a 2 mod 3, y los de Mersenne (excepto el menor, 3) son congruentes a 1 mod 3.

La versión inicial de este artículo es una adaptación de en:Eisenstein prime de Wikipedia en inglés.