Número primo de Pierpont

Un número primo de Pierpont es un número primo de la forma

$2^u 3^v + 1\,$

para u y v enteros no negativos. Se llaman así en honor al matemático James Pierpont.

Se puede demostrar que, si v = 0 y u > 0, entonces u debe ser una potencia de 2, y el número primo será por tanto de Fermat. Si v es positivo, entonces u también es positivo, y el número primo de Pierpont es de la forma 6k + 1 (ya que si u = 0 y v > 0 entonces 2^u3^v + 1 es un número par mayor que 2 y por tanto compuesto).

Los primeros números primos de Pierpont son:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769... (sucesión A005109 en OEIS).

Distribución de los números primos de Pierpont

Andrew Gleason conjeturó que hay infinitos números primos de Pierpont. No son especialmente raros y la factorización algebraica impone pocas restricciones en comparación con, por ejemplo, los números primos de Mersenne, cuyo exponente debe ser primo. Hay 36 números primos de Pierpont menores que 10⁶, 59 que son menores que 10⁹, 151 menores que 10²⁰ y 789 menores que 10¹⁰⁰; según la conjetura hay O(log N) números primos de Pierpont menores que N, mientras que sólo se conjetura la existencia de O(log log N) números primos de Mersenne en ese rango.

Números primos de Pierpont como factores de números de Fermat

En la búsqueda de factores de números de Fermat, se han descubierto algunos que son números primos de Pierpont. La siguiente tabla^[1] muestra los valores de m, k y n tales que

$k\cdot 2^n + 1\text{ divide a }2^{2^m} + 1. \,$

En esta expresión, el número de la izquierda es un número primo de Pierpont cuando k es una potencia de 3, mientras que el número de la derecha es un número de Fermat.

m	k	n	Año	Descubridor
38	3	41	1903	Cullen, Cunningham y Western
63	9	67	1956	Robinson
207	3	209	1956	Robinson
452	27	455	1956	Robinson
9428	9	9431	1983	Keller
12185	81	12189	1993	Dubner
28281	81	28285	1996	Taura
157167	3	157169	1995	Young
213319	3	213321	1996	Young
303088	3	303093	1998	Young
382447	3	382449	1999	Cosgrave y Gallot
461076	9	461081	2003	Nohara, Jobling, Woltman y Gallot
672005	27	672007	2005	Cooper, Jobling, Woltman y Gallot
2145351	3	2145353	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman y Gallot
2478782	3	2478785	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman y Gallot

A fecha de 2008, el mayor número primo de Pierpont que se conoce es 3 · 2^2478785 + 1,^[2] cuya primalidad fue descubierta por John B. Cosgrave en 2003 con la ayuda de un programa de Paul Jobling, George Woltman e Yves Gallot.^[3]

En las matemáticas de la papiroflexia, los axiomas de Huzita-Hatori definen seis de los siete tipos de dobleces que se pueden presentar. Se ha demostrado que estas dobleces son suficientes para construir cualquier polígono regular de N lados, siempre que N > 3 y sea de la forma 2^m3ⁿρ, donde ρ es el producto de números primos de Pierpont distintos. Esta es la misma clase de polígonos regulares que se pueden construir con regla, compás y trisectriz de ángulos. Los polígonos construibles únicamente con regla y compás constituyen el caso especial en que n = 0 y ρ es un producto de números primos de Fermat distintos, a su vez un subconjunto de los números primos de Pierpont.

Referencias

1. ↑ Wilfrid Keller, Fermat factoring status. (en inglés)
2. ↑ Chris Caldwell, The largest known primes en The Prime Pages. (en inglés)
3. ↑ Proof-code: g245 en The Prime Pages. (en inglés)