Número primo equilibrado

En Matemáticas un primo equilibrado es un número primo tal que es igual a la media aritmética de sus primos predecesor y sucesor. De otro modo, si para un primo dado p_n, donde n es el índice en el conjunto ordenado de los primos naturales:

$p_n = {{p_{n - 1} + p_{n + 1}} \over 2}.$

Los primeros primos equilibrados son: 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103^[1]

Por ejemplo, 53 es el decimosexto primo; el decimoquinto y el decimoséptimo, 47 y 59, sumados dan 106 cuya mitad es 53, luego 53 es un primo equilibrado.

Si se considerara a 1 como primo entonces 2 sería el primer primo equilibrado al ser la media de 1 y 3.

Se conjetura que existen infinitos primos equilibrados.

Tres primos consecutivos en progresión aritmética son llamados a veces CPAP-3 (por sus iniciales en inglés). Un primo equilibrado es, por definición, el segundo primo de una CPAP-3. En 2009 la mayor CPAP-3 tiene 7535 cifras hallada por David Broadhurst y François Morain.^[2]

$p_n = 197418203 \times 2^{25000} - 1, p_{n-1} = p_n-6090, p_{n+1} = p_n+6090.$

No se conoce el valor de n.

Si un primo es mayor que la media aritmética de sus primos vecinos se dice que es un primo fuerte y si es menor primo débil.

Notas

1. ↑ sucesión A006562 en OEIS
2. ↑ «The Largest Known CPAP's».