Número refactorizable

Un número refactorizable o número tau es un número natural n que es divisible por el número de divisores que tiene, o, dicho de forma algebraica, n es tal que τ(n) | n. Los primeros números refactorizables son (sucesión A033950 en OEIS) 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88 y 96.

Cooper and Kennedy demostraron que los números refactorizables son un conjunto de densidad asintótica cero. Zelinsky demostró que no hay tres enteros consecutivos que sean refactorizables.^[1] Colton demostró que ningún número perfecto es refactorizable. La ecuación mcd(n, x) = τ(n) sólo admite soluciones si n es refactorizable.

Existen aún cuestiones abiertas sobre los números refactorizables. Colton ha planteado la cuestión de si existen n arbitrariamente grandes tales que tanto n como n + 1 son refactorizables. Zelinsky se preguntó si, dado un número refactorizable $n_0 \equiv a \mod m$, existe necesariamente n > n₀ tal que n es refactorizable y $n \equiv a \mod m$.

Historia

Los números tau fueron definidos por primera vez por Curtis Cooper y Robert E. Kennedy^[2] quienes demostraron que tenían densidad asintótica cero. Fueron redescubiertos posteriormente por Simon Colton, que estaba usando un programa informático que él mismo escribió y que inventaba y juzgaba definiciones de numerosas áreas de las matemáticas tales como la teoría de números y la teoría de grafos.^[3] Colton llamó a estos números "refactorizables". Aunque los ordenadores ya habían realizado demostraciones anteriormente, este descubrimiento era una de las primeras veces que un programa informático había descubierto una idea nueva o muy poco conocida. Colton demostró muchas propiedades de los números refactorizables, estableció entre otras cosas que eran infinitos y demostró numerosas restricciones modulares en su distribución. Sólo después se le informó de que Kennedy y Cooper ya habían investigado estos números.

Referencias

1. ↑ J. Zelinsky, "Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results," Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Artículo 02.2.8
2. ↑ Cooper, C. N. y Kennedy, R. E. "Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437." Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383-386, 1990
3. ↑ S. Colton, "Refactorable Numbers - A Machine Invention," Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Artículo 99.1.2