Números tetraédricos

Una pirámide con una longitud de lado 5 contiene 35 esferas. Cada nivel representa uno de los primeros cinco números triangulares.

En las matemáticas un número tetraédrico , o número piramidal triangular, es un número figurado que representa una pirámide de base triangular y tres lados, llamada tetraedro. El n-ésimo número tetraédrico es la suma de los primeros n números triangulares.

Los primeros números tetraédricos son:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

La fórmula del n-ésimo número tetraédrico es

$T_n=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}n(n+1)(n+2).$

Los números tetraédricos se ubican en la cuarta posición en el triángulo de Pascal (tanto de derecha a izquierda como de izquierda a derecha). Los números tetraédricos son los coeficientes binomiales expresados por la siguiente fórmula:

$T_n={n+2\choose3}$

Los números tetraédricos pueden ser representados apilando esferas. Por ejemplo, el quinto número tetraédrico (T₅ = 35) se puede representar con 35 bolas de billar y el marco estándar triangular que permite acomodar 15 bolas de billar. Luego se forma un segundo nivel apilando 10 bolas adicionales arriba de las 15 iniciales, otro nivel con 6, un cuarto nivel con tres bolas y finalmente una bola en el último completa el tetraedro.

A.J. Meyl demostró en 1878 que solo existen 3 números tetredricos que son a la vez cuadrados perfectos. Los mismos son:

T₁ = 1² = 1

T₂ = 2² = 4

T₄₈ = 140² = 19600.

El único número tetraédrico que es también un número cuadrado piramidal es el 1 (Beukers, 1988). Los números tetraédricos satisfacen la siguiente relación: T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁

Los siguientes son números tetraédricos y también números triangulares:

Tetraedro₃ = Triángulo₄ = 10

Tetraedro₈ = Triángulo₁₅ = 120

Tetraedro₂₀ = Triángulo₅₅ = 1540

Tetraedro₃₄ = Triángulo₁₁₉ = 7140

Véase también

• Triángulo de Pascal
• Número triangular