Número trascendente


Número trascendente

Un número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.

En general, si tenemos dos cuerpos (K,+,\cdot) y (L,+,\cdot) de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que \alpha \in L es trascendente sobre K si no existe ningún polinomio p \in K[x] del que \alpha\, es raíz (p(\alpha)=0\,).

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable. Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler (\gamma\,) lo es, siendo \gamma\, = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\cdots + \frac{1}{n} - \ln(n), cuando n \to +\infty \,\!. De hecho, ni siquiera se sabe si γ es racional o irracional.

La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

Contenido

Historia

La existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entre ellos la Constante de Liouville:

{\sum_{k=1}^\infty} 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots

donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos: es significativo que estos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla, acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

Ejemplos

Una lista de los números transcendentes más comunes:

donde \beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es 0,1010001000000010000000000000001000...

Véase también

Números
Complejos \mathbb{C}
Reales \mathbb{R}
Racionales \mathbb{Q}
Enteros \mathbb{Z}
Naturales \mathbb{N}
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Número trascendente — Tipo de número irracional que no proviene de una simple relación algebraica sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Un número es trascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con… …   Enciclopedia Universal

  • trascendente — 1. adj. Que trasciende. 2. Fil. Que está más allá de los límites de cualquier conocimiento posible. 3. Mat. No algebraico. π es un número trascendente …   Diccionario de la lengua española

  • Número π — π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El… …   Wikipedia Español

  • trascendente — ► adjetivo 1 Que es muy importante por sí mismo o por sus consecuencias: ■ la reunión de hoy es decisiva y trascendente. TAMBIÉN transcendente 2 Que tiene consecuencias que van más allá de los hechos o circunstancias puntuales: ■ pensamiento… …   Enciclopedia Universal

  • Número real — Diferentes clases de números reales. Recta real …   Wikipedia Español

  • Número e — e} es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la… …   Wikipedia Español

  • numero — nù·me·ro s.m. 1. FO ogni parola che indica la somma di unità che costituiscono un insieme: tre è un numero intero; cifra o simbolo che indica tale parola: scrivere il numero 20 in caratteri gotici (abbr. n., No., n.ro) | TS mat. ogni entità che,… …   Dizionario italiano

  • Número irracional — En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.… …   Wikipedia Español

  • Número de Hilbert — En matemáticas, el concepto de número de Hilbert, nombrado así en honor de David Hilbert, tiene distintos significados. En análisis y teoría de números, el número de Hilbert (también conocido como constante de Gelfond Schneider) es la constante… …   Wikipedia Español

  • Número algebraico — Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma: anxn + an 1xn 1 + ... + …   Enciclopedia Universal


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.