Operador de proyección

En matemáticas, un operador de proyección P en un espacio vectorial es una transformación lineal idempotente, es decir, satisface la igualdad P² = P.

Introducción

Dichas transformaciones proyectan cualquier punto x del espacio vectorial a un punto del subespacio imagen de la transformación. En caso que x pertenezca al subespacio imagen, la proyección no tiene efecto, dejando el punto x fijo.^[1]

Por ejemplo, el operador P definido en R³ de la forma siguiente

$P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}$

es un operador que "proyecta" el espacio R³ sobre el espacio de dimensión 2 que consiste de los vectores cuya coordenada y es cero.

Esta definición abstracta, de "proyector" o "proyección" generaliza la idea gráfica intuitiva de proyección extendiéndola a cualquier tipo de espacio vectorial, incluyendo el caso de dimensión infinita donde no resulta posible una aproximación gráfica.

Proyectores ortogonales o autoadjuntos

En general, dado un subespacio vectorial W de un espacio V, existen muchas proyecciones sobre V. Si el espacio es un espacio de Hilbert y se exige además que el operador P sea un autoadjunto, es decir

$\langle P x, y\rangle = \langle x, P y \rangle, \quad x, y \in V$

entonces la proyección sobre V es única. El término operador de proyección ortogonal significa operador de proyección autoadjunto.

En física, el término operador de proyección es sinónimo con proyección ortogonal

Referencia

Notas

1. ↑ Meyer, pp 386+387

Bibliografía

• N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.
• Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. ISBN 978-0-89871-454-8.

Enlaces exteriores

• MIT Linear Algebra Lecture on Projection Matrices at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• Planar Geometric Projections Tutorial - a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.