Ortogonalidad (matemáticas)

Ortogonalidad (matemáticas)

En matemáticas, el término ortogonalidad (del griego orthos —recto— y gonía —ángulo—) es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.

Contenido

Ortogonalidad en espacios vectoriales

Definición

Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores  x \in V e  y \in V son ortogonales si el producto escalar de  \langle x, y \rangle es cero. Esta situación se denota  x \perp y . Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.

Ortogonalidad y perpendicularidad

En geometría euclídea se tiene, dos vectores X e Y ortogonales forman un ángulo recto, los vectores v1 = (3,4) y v2 = (4, − 3) lo son ya que,  \langle v_1, v_2 \rangle = v_1 \cdot v_2 = 3\times 4 + 4\times (-3) = 0. En espacios no euclídeos puede definirse de modo abstracto el ángulo entre dos vectores a partir del producto interior.

Ortogonalidad respecto de una matriz (A-ortogonalidad)

Dados dos vectores u1 y u2 pertenecientes a un espacio vectorial de dimensión n y una matriz A de dimensión n \times n, si el productor escalar \langle u_1 , Au_2 \rangle, notado \langle u_1 , u_2 \rangle_A, es igual a cero, se dice que u1 y u2 son ortogonales respecto a la matriz A o A-ortogonales. Un conjunto de n vectores \{u_i\}_{i=1}^n se dice que forma una base A-ortonormal si \langle u_i , u_j \rangle_A = \delta_{ij} para todo i,j = 1,...,n.

Transformación ortogonal

En Geometría y Álgebra lineal, una transformación \varphi: E \longrightarrow E de un espacio prehilbertiano (E,\langle\cdot,\cdot\rangle) en sí mismo —donde \langle\cdot,\cdot\rangle representa el producto escalar en E— es ortogonal cuando φ es una aplicación lineal de E en sí mismo (un automorfismo) de forma que cualesquiera que sean los u,v \in E se cumple que \langle\varphi(u),\varphi(v)\rangle = \langle u,v\rangle.

En particular, el conjunto E puede ser un espacio euclídeo.

En caso de que E sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos, se dirá que φ es transformación unitaria.

Ortogonalidad en otros contextos

El concepto de ortogonalidad puede extenderse a otros objetos geométricos diferente de los vectores. Por ejemplo dos curvas suaves se consideran ortogonales en un punto si sus respectivos vectores tangentes son ortogonales. Dos familias de curvas se llaman ortogonales si en el punto de intersección de una curva de la primera familia con una curva de la segunda familia ambas resultan ser ortogonales. Un ejemplo de esto es el de las líneas isostáticas de tracción y compresión en una viga, las cuales son las envolventes de las tensiones principales.

Sistemas de coordenadas ortogonales

Un sistema de coordenadas sobre una variedad de Riemann o un espacio localmente euclídeo es ortogonal cuando las líneas coordenadas asociadas a los valores constantes de alguna de las coordenadas tienen vectores tangentes que son ortogonales entre sí. Las coordenadas cartesianas, las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son ejemplos de sistemas de coordenadas ortogonales.

Los sistemas de coordenadas ortogonales son interesantes porque el tensor métrico expresado en ese sistema de coordenadas es diagonal. Si además todos los términos del tensor métrico son +1 (o también -1 si estamos en una Variedad pseudoriemanniana) el sistema de coordendas se califica además de ortonormal.

Los sistemas de coordenadas ortogonales las líneas coordenadas forman familias de curvas ortogonales entre sí.

Temas relacionados


Wikimedia foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • Ortogonalidad — puede referirse a: Ortogonalidad, como propiedad de un computador. Ortogonalidad, en matemáticas. Esta página de desambiguación cataloga artículos relacionados con el mismo título. Si llegaste aquí a través de …   Wikipedia Español

  • Número natural — Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …). Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que… …   Wikipedia Español

  • ILLIAC IV — UC del computador paralelo ILLIAC IV El ILLIAC IV fue uno de los más infames supercomputadores de la historia. Uno de la serie de máquinas de investigación, los ILLIACs de la Universidad de Illinois, el diseño del ILLIAC IV se caracterizó por un… …   Wikipedia Español

  • Transformada de Fourier discreta — Para otros usos de este término, véase Transformación (desambiguación). En matemáticas, la transformada discreta de Fourier o DFT (del inglés, discrete Fourier transform) es un tipo de transformada discreta utilizada en el análisis de Fourier.… …   Wikipedia Español

  • Secuencias complementarias — Las secuencias complementarias son conjuntos de secuencias discretas utilizadas ampliamente en las más diversas áreas de la ingeniería: comunicaciones, robótica, ensayos no destructivos de materiales (NDT), etc. Sus particulares propiedades… …   Wikipedia Español

  • Teoría de Sturm-Liouville — En matemáticas, una ecuación de Sturm Liouville, que toma su nombre de Jacques Charles François Sturm (1803 1855) y Joseph Liouville (1809 1882), es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma (1) donde las funciones …   Wikipedia Español

  • Polinomios de Legendre — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas al resolver la formula de Rodrigues, las Funciones de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de Legendre: llamadas así por el matemático francés Adrien Marie Legendre. Estas… …   Wikipedia Español

  • Símbolos matemáticos — Anexo:Símbolos matemáticos Saltar a navegación, búsqueda Contenido 1 Genéricos 1.1 = 1.2 ≔≡:⇔ 2 Aritmética …   Wikipedia Español

  • Imperio paleobabilónico — Uno o varios wikipedistas están trabajando actualmente en este artículo o sección. Es posible que a causa de ello haya lagunas de contenido o deficiencias de formato. Si quieres, puedes ayudar y editar, pero por favor: antes de realizar… …   Wikipedia Español

  • Acceso múltiple por división de código — «CDMA» redirige aquí. Para el organismo andaluz, véase Centro de Documentación Musical de Andalucía. La multiplexación por división de código, acceso múltiple por división de código o CDMA (del inglés Code Division Multiple Access) es un término… …   Wikipedia Español


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»