Politopo de cruce

Politopo de cruce

En geometría, un politopo de cruce u ortoplex, es un politopo regular convexo que existe en cualquier número de dimensiones. Los vértices de un politopo de cruce consisten de todas las permutaciones de (±1, 0, 0, …, 0). El politopo de cruce es el casco o envoltorio convexo de sus vértices. (Nota: algunos autores definen al politopo convexo sólo como la envoltura de esta región).

En una dimensión, el politopo de cruce es simplemente un segmento de línea [−1, +1], en dos dimensiones es el cuadrado con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones es el octaedro (uno de los cinco poliedros conocidos como sólidos platónicos. Los politopos de cruce en mayor número de dimensiones son generalizaciones de estos.

Politopo de cruce de 2 dimensiones Politopo de cruce de 3 dimensiones Politopo de cruce de 4 dimensiones
2 dimensiones 3 dimensiones 4 dimensiones

El politopo de cruce es el dual del politopo de medida.

Cuatro dimensiones

Artículo principal: Hexadecacoron

El politopo de cruce de cuatro dimensiones tiene el nombre de hexadecacoron o 16-cell, uno de los seis polícoros regulares. Estos polícoros fueron descriptos originalmente por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.

Dimensiones mayores

En n dimensiones con n > 4 existen sólo tres politopos regulares: el simplex, el politopo de medida, y el politopo de cruce, siendo estos dos últimos duales y el simplex auto-dual.

El politopo de cruce n-dimensional tiene 2n vértices, y 2n facetas (componentes (n−1)-dimensionales) todos los cuales son n−1-simplices. Las figuras de vértice son todas politopos de cruce (n−1)dimensionales. El símbolo de Schläfli del politopo de cruce es {3,3,…,3,4}.

El número de componentes k-dimensionales (vértices, aristas, caras, …, facetas) de un politopo de cruce n-dimensional está determinado por (ver coeficiente binomial):

2^{k+1}{n \choose {k+1}}

Para los primeros n y k tendremos:

n\k 0 1 2 3 4
1 2
2 4 4
3 6 12 8
4 8 24 32 16
5 10 40 80 80 32

Véase también

  • Lista de politopos regulares

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