Parámetros de dispersión

Parámetros de dispersión

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Parámetros de dispersión o parámetros-S son propiedades usadas en ingeniería eléctrica, ingeniería electrónica, e ingeniería de sistemas de comunicación y se utilizan para describir el comportamiento eléctrico de redes eléctricas lineales cuando se someten a varios estímulos de régimen permanente por pequeñas señales. Son miembros de una familia de parámetros similares usados en ingeniería electrónica, siendo otros ejemplos: Parámetros-Y,^[1] Parámetros-Z,^[2] Parámetros-H, Parámetros-T o Parámetros-ABCD.^{[3] [4]} A pesar de ser aplicables a cualquier frecuencia, los parámetros-S son usados principalmente para redes que operan en radiofrecuencia (RF) y frecuencias de microondas, ya que representan parámetros que son de utilidad particular en RF. En general, para redes prácticas, los parámetros-S cambian con la frecuencia a la que se miden, razón por la cual ésta debe especificarse para cualquier medición de parámetros-S, junto con la impedancia característica o la impedancia del sistema. Los parámetros-S se representan en una matriz y por lo tanto obedecen las reglas del álgebra de matrices. Muchas propiedades eléctricas útiles de las redes o de componentes pueden expresarse por medio de los parámetros-S, como por ejemplo la ganancia, pérdida por retorno, relación de onda estacionaria de tensión (ROEV), coeficiente de reflexión y estabilidad de amplificación. El término 'dispersión' (del inglés, scattering) es probablemente más común en ingeniería óptica que en ingeniería de RF, pues se refiere al efecto que se observa cuando una onda electromagnética plana incide sobre una obstrucción o atraviesa medios dieléctricos distintos. En el contexto de los parámetros-S, dipersión se refiere a la forma en que las corrientes y tensiones que se desplazan en una línea de transmisión son afectadas cuando se encuentran con una discontinuidad debida por la introducción de una red en una línea de transmisión. Esto equivale a la onda encontrándose con una impedancia diferente de la impedancia característica de la línea.

La matriz de parámetros-S genérica

Para la definición de una red multi-puerto genérica, se asume que todos los puertos salvo el que se encuentra bajo consideración o el par de puertos bajo consideración tienen una carga conectada a ellos idéntica a la impedancia del sistema y que cada puerto tiene asignado un entero 'n' que varía de 1 a N, donde N es el número total de puertos. Para un puerto n, la definición de parámetros-S asociados se realiza en función de 'ondas de potencia' incidente y reflejada, a_n y b_n respectivamente. Ondas de potencia son versiones normalizadas de las ondas viajeras de tensión incidente y reflejada correspondientes, $V_n^+$ y $V_n^-$ respectivamente, de acuerdo a la teoría de lineas de transmisión. Éstas están relacionadas con la impedancia del sistema Z₀ de la siguiente manera:

$a_n = \frac{V_n^+}{\sqrt{Z_{0}}}$

y

$b_n = \frac{V_n^-}{\sqrt{Z_{0}}}$

Para todos los puertos de la red, las ondas de potencia reflejadas pueden definirse en términos de la matriz de parámetros-S y las ondas de potencia incidentes a través de la siguiente ecuación:

$\begin{pmatrix}b_1 \\ . \\ . \\ . \\ b_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}S_{11} & S_{12} & . & . & S_{1n}\\S_{21} & . & . & . & . \\. & . & . & . & .\\. & . & . & . & .\\S_{n1} & . & . & . & S_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ . \\ . \\ . \\ a_n\end{pmatrix}$

Los elementos de los parámetros-S se representan individualmente con la letra mayúscula 'S' seguida de dos subíndices enteros que indican la fila y la columna en ese orden de la posición del parámetro-S en la matriz de parámetros-S.

La fase de un parámetro-S es la fase espacial a la frecuencia de prueba, y no la fase temporal (relacionada con el tiempo).

Redes de dos puertos

La matriz de parámetros-S para una red de dos puertos es probablemente la más común y sirve como base para armar matrices de órdenes superiores correspondientes a redes más grandes. En este caso, la relación entre las ondas de potencia reflejada e incidente y la matriz de parámetros-S está dada por:

$\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$

Expandiendo las matrices en ecuaciones, tenemos:

b₁ = S₁₁a₁ + S₁₂a₂

y

b₂ = S₂₁a₁ + S₂₂a₂

Cada ecuación da la relación entre las ondas de potencia reflejada e incidente en cada uno de los puertos de la red, 1 y 2, en función de los parámetros-S individuales de la red, S₁₁, S₁₂, S₂₁ y S₂₂. Si consideramos una onda de potencia incidente en el puerto 1 (a₁) pueden resultar ondas existentes tanto del puerto 1 mismo (b₁) o del puerto 2 (b₂). Sin embargo, si, de acuerdo a la definición de parámetros-S, el puerto 2 está terminado en una carga idéntica a la impedancia del sistema (Z₀), entonces, debido al teorema de transferencia de potencia máxima, b₂ será absorbida totalmente haciendo a₂ igual a cero. Por lo tanto

$S_{11} = \frac{b_1}{a_1} = \frac{V_1^-}{V_1^+}$ y $S_{21} = \frac{b_2}{a_1} = \frac{V_2^-}{V_1^+}$

De forma similar, si el puerto 1 está terminado en la impedancia del sistema, entonces a₁ se hace cero, dando

$S_{12} = \frac{b_1}{a_2} = \frac{V_1^-}{V_2^+}$ y $S_{22} = \frac{b_2}{a_2} = \frac{V_2^-}{V_2^+}$

Cada parámetro-S de una red de dos puertos tiene las siguientes descripciones genéricas:

S₁₁ es el coeficiente de reflexión de la tensión del puerto de entrada

S₁₂ es la ganancia de la tensión en reversa

S₂₁ es la ganancia de la tensión en directa

S₂₂ es el coeficiente de reflexión de la tensión del puerto de salida

Reciprocidad

Una red será recíproca si es pasiva y contiene solo materiales isótropos que influyan la señal transmitida. Por ejemplo, atenuadores, cables, divisores y combinadores son todas redes recíprocas y S_mn = S_nm en cada caso, es decir, la matriz de parámetros-S es igual a su traspuesta. Todas las redes que incluyen materiales antisótropos como medio de transmisión, como los que contienen componentes de ferrito serán no recíprocos. A pesar de que no necesariamente contiene ferritos, un amplificador es otro ejemplo de una red no recíproca.

Una propiedad interesante de redes de tres puertos es que no pueden ser simultáneamente recíprocas, libre de pérdidas y perfectamente adaptadas.^[5]

Red libre de pérdidas

Una red libre de pérdidas es una en la cual no se disipa potencia, o:$\Sigma\left|a_n\right|^2 = \Sigma\left|b_n\right|^2$. Las suma de las potencias incidentes en todos los puertos es igual a la suma de las potencias reflejadas en todos los puertos. Esto implica que la matriz de parámetros-S es unitaria, o (S)(S) ^* − (I) = 0, donde (S) ^* es el complejo conjugado de la traspuesta de (S) e (I) es la matriz identidad.

Red con pérdidas

Una red con pérdidas es una en la cual la suma de las potencias incidentes en todos los puertos es mayor que la suma de las potencias reflejadas en todos los puertos. Por lo tanto disipa potencia, o:$\Sigma\left|a_n\right|^2 \ne \Sigma\left|b_n\right|^2$. En este caso $\Sigma\left|a_n\right|^2 > \Sigma\left|b_n\right|^2$, y (I) − (S)(S) ^* > 0.

Referencias

1. ↑ Pozar, David M. (2005); Microwave Engineering, Third Edition (Intl. Ed.); John Wiley & Sons, Inc.; pp 170-174. ISBN 0-471-44878-8.
2. ↑ Pozar, David M. (2005) (op. cit); pp 170-174.
3. ↑ Pozar, David M. (2005) (op. cit);pp 183-186.
4. ↑ Morton, A. H. (1985); Advanced Electrical Engineering;Pitman Publishing Ltd.; pp 33-72. ISBN 0-273-40172-6
5. ↑ Pozar, David M. (2005) (op. cit); p 173.

Bibliografía

• Guillermo Gonzalez, "Microwave Transistor Amplifiers, Analysis and Design, 2nd. Ed.", Prentice Hall, New Jersey; ISBN 0-130254335-4
• David M. Pozar, "Microwave Engineering", Third Edition, John Wiley & Sons Inc.; ISBN 0-471-44878
• "S-Parameter Design", Agilent Application Note AN 154, Agilent Technologies
• "Applying Error Correction to Network Analyzer Measurements; Agilent Application Note AN 1287-3, Agilent Technologies.
• “S-Parameter Techniques for Faster, More Accurate Network Design”, Test & Measurement Application Note 95-1; Agilent Technologies.
• A. J. Baden Fuller, "An Introduction to Microwave Theory and Techniques, Second Edition, Pergammon International Library; ISBN 0-08-024227-8
• Ramo, Whinnery and Van Duzer, "Fields and Waves in Communications Electronics", John Wiley & Sons; ISBN 0-471-70721-X
• C. W. Davidson, "Transmission Lines for Communications with CAD Programs", Second Edition, Macmillan Education Ltd.; ISBN 0-333-47398-1

Enlaces externos

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