Polinomio todo en uno

Polinomio todo en uno

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Un polinomio todo en uno (AOP, All-in-One-Polynom) es un polinomio usado en campo finitos, especificalmente GF(2) (binario). El AOP es un 1-polinomio igualmente espaciado.

Un AOP de grado m tiene todos los términos del x^m al x⁰ con coeficientes 1, y puede escribirse:

$AOP(x) = \sum_{i=0}^{m} x^i$

o

$AOP(x) = x^m + x^{m-1} + \cdots + x + 1$

o

$AOP_m(x) = \frac{x^{m+1} - 1}{x-1}$

así las raíces de polinomios todos en uno son todas raíces de la unidad.

Propiedades

Sobre GF(2) el AOP posee varias propiedades interesantes, incluyendo:

• La distancia de Hamming del AOP es m + 1
• El AOP es irreducible si y sólo si m + 1 es primo y 2 es una raíz primitiva módulo m + 1
• El único AOP que es un polinomio primitivo es x² + x + 1.

A pesar del hecho que la distancia de Hamming sea grande, debido a la fácil representación y otras mejorías existen implementaciones eficientes en áreas tales como teoría de códigos y en criptografía.

Sobre $\mathbb{Q}$, el AOP es irreducible cuando m + 1 es primo p, y por ende en esos casos, el p-ésimo polinomio ciclotómico.

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