Potencia de un punto


Potencia de un punto

Potencia de un punto

Artículo bueno

Si P es un punto que hemos fijado, y C una circunferencia, la potencia del punto P respecto a C es el producto de las distancias a cualquier par de puntos de la circunferencia alineados con P. El valor de la potencia siempre es constante para cada punto P, independientemente de la elección de los puntos de la circunferencia.

De manera más formal, si P es un punto, y una recta que pasa por P corta a la circunferencia en A y B, la potencia de P se define como el producto PA × PB, como se muestra en la figura.

El punto P puede estar localizado en cualquier parte del plano, no sólo en el interior de la circunferencia. Usualmente se consideran segmentos dirigidos,[1] por lo que hay tres casos para el signo de la potencia:

El punto puede estar en el exterior de la circunferencia.
  • Si el punto P está en el interior de la circunferencia, la potencia toma valor negativo, pues PA y PB tienen sentido opuesto.
  • Si el punto P está en el exterior de la circunferencia, la potencia toma valor positivo.
  • Si el punto P está sobre la circunferencia, la potencia es igual a cero (pues A=P o B=P).


Contenido

Relación con semejanza

Los triángulos A1PB2 y A2PB1 son semejantes.

El hecho de que la potencia de un punto sea independiente de la recta está relacionado con semejanza de triángulos. Dibujando dos secantes y uniendo los puntos A y los puntos B respectivamente, obtenemos dos triángulos A1PA2 y B1PB2

Los ángulos PA1A2 y PB2B1 son iguales; ambos miden la mitad del arco B1A2. Como el ángulo A1PA2 es igual al ángulo B1PB2, los triángulos A1PA2 y B2PB1 son semejantes.

De la semejanza se tiene que

\frac{PA_1}{PA_2} = \frac{PB_2}{PB_1}

por lo que

 PA_1\cdot PB_1 = PA_2\cdot PB_2

El caso de la tangente

La tangente es un caso límite cuando los puntos de corte se unen.

Un caso especial se obtiene cuando el punto es exterior y la recta es tangente a la circunferencia. Si PT es una tangente a la circunferencia, entonces la relación de potencia de punto se convierte en PA · PB = PT². La prueba es similar a la dada para el caso general, obteniendo aquí que los triángulos PTB y PAT son semejantes. Intuitivamente, puede entenderse la relación anterior como el caso límite en que los puntos A y B coinciden.

Lugares geométricos

Cálculo de la potencia a partir del radio y la distancia al centro

Dados una circunferencia C y un número k fijo, nos podemos preguntar por todos aquellos puntos que tengan el número escogido como su potencia. En otras palabras, nos preguntamos por el lugar geométrico de los puntos cuya potencia respecto a C es igual a k.

La respuesta a la pregunta anterior se obtiene mediante la fórmula radio-distancia, que permite calcular la potencia de un punto si se conoce el radio de la circunferencia y la distancia del punto al centro.

Tracemos el diámetro de la circunferencia que pasa por P. Si calculamos la potencia sobre el diámetro obtenemos (r-d)(r+d)=r²-d².

Los puntos del mismo color tienen la misma potencia respecto a C.

La fórmula anterior nos permite calcular la potencia conociendo el radio de la circunferencia y su distancia al centro. Como consecuencia, todos los puntos a una misma distancia del centro tienen la misma potencia, y viceversa: puntos con la misma potencia son equidistantes del centro.

Un problema similar consiste en determinar el conjunto de puntos cuyas potencias respecto a dos circunferencias fijas son iguales. En este caso, el lugar geométrico es en una recta, denominada eje radical.

Construcción de la media geométrica de dos segmentos

Construcción de la media geométrica de dos segmentos

Una aplicación de la potencia de un punto, es permitir la construcción de la media geométrica de dos segmentos. Dados dos segmentos de longitudes m y n, la media geométrica es un segmento de longitud \sqrt{mn}. El caso en que m=n es trivial puesto que la media geométrica es igual a ambos. Supongamos entonces que m<n.

Dibújese un segmento PA de longitud n, y dentro de él encuéntrese un punto B tal que PB tenga longitud m. Constrúyase una circunferencia con diámetro AB, la cual tiene longitud n-m. Finalmente, trácese la tangente a la circunferencia desde P. Por la propiedad de la tangente, PT²=PA·PB=m·n, por lo que PT tiene longitud \sqrt{mn}. Es decir, PT es la media geométrica de PA y PB.

Véase también

Referencia

  1. Dos segmentos paralelos o colineales dirigidos tienen el mismo signo si apuntan en la misma dirección, y tienen signo opuesto cuando apuntan en dirección contraria. Esto es similar al concepto de vector.

Bibliografía

  • Adam, Puig (1988). Euler(Madrid) (ed.). Geometría Métrica, Tomo I, pp. 712. ISBN 84-85731-06-9.
Obtenido de "Potencia de un punto"

Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Potencia — Saltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Potencia (desambiguación). En física, potencia es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo. La potencia media queda definida por: (1) …   Wikipedia Español

  • Potencia (desambiguación) — Saltar a navegación, búsqueda Potencia puede referirse a: En física: Potencia en Física: cantidad de trabajo realizado por unidad de tiempo. Potencia en Geometría: la potencia de un punto respecto de una circunferencia Potencia óptica: inverso de …   Wikipedia Español

  • Potencia (física) — En física, potencia (símbolo P)[1] es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo. Si ΔW es la cantidad de trabajo realizado durante un intervalo de tiempo de duración Δt, la potencia media durante ese intervalo está dada por la… …   Wikipedia Español

  • Potencia (Aristóteles) — Saltar a navegación, búsqueda La potencia aristotélica es la propiedad que tienen los seres desde el punto de vista metafisico de recibir los accidentes que causan la transformación de la sustancia. El término aparece consolidado por Aristóteles… …   Wikipedia Español

  • punto — (Del lat. punctum). 1. m. Señal de dimensiones pequeñas, ordinariamente circular, que, por contraste de color o de relieve, es perceptible en una superficie. 2. Cada una de las partes en que se divide el pico de la pluma de escribir, por efecto… …   Diccionario de la lengua española

  • Potencia nuclear — Saltar a navegación, búsqueda Véase también: Países con armas nucleares Mapa mundial con el estado de desarrollo nuclear representado por colores …   Wikipedia Español

  • Potencia mundial — Mapas para el PIB nominal y el PIB PPA totales de 2005, según datos del FMI …   Wikipedia Español

  • Punto — (Del lat. punctum.) ► sustantivo masculino 1 Señal o dibujo redondeado y pequeño, perceptible en una superficie: ■ la línea de puntos divide ambos párrafos. SINÓNIMO pinta mota 2 GRAMÁTICA Signo ortográfico consistente en una pequeña marca… …   Enciclopedia Universal

  • Potencia — (Del lat. potentia.) ► sustantivo femenino 1 Capacidad para hacer una cosa: ■ potencia muscular; potencia auditiva; potencia militar de un estado. SINÓNIMO poder ANTÓNIMO impotencia 2 Persona, entidad o nación que tiene gran poder sobre las demás …   Enciclopedia Universal

  • punto — {{#}}{{LM P32295}}{{〓}} {{SynP33061}} {{[}}punto{{]}} ‹pun·to› {{《}}▍ s.m.{{》}} {{<}}1{{>}} Señal de pequeño tamaño, generalmente circular, que destaca en una superficie por contraste de relieve o de color: • Te has pintado un punto en la cara… …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos