Teoremas de Mertens

En matemáticas, los teoremas de Mertens (por Franz Martens, que los demostró) son tres resultados de teoría de números enunciados en 1874 y que tratan sobre la densidad de los números primos, y otro resultado de análisis.

Teoría de números

Primer teorema de Mertens

$\ln n - \sum_{p \leq n} \frac{\ln p}{p} = O(1) \quad \hbox{cuando}\ n\to\infty,$

Véase también: Notación de Landau

Segundo teorema de Mertens

$\lim_{n\to\infty}\left(-\ln\ln n+\sum_{p \leq n}\frac1p\right)=0,2614972128\ldots,$

Ese número es la constante de Meissel-Mertens.

Tercer teorema de Mertens

$\lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p \leq n}\left(1-\frac1p\right)=e^{-\gamma},$ donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Teorema de Mertens en análisis

Si una serie infinita real o compleja $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge a A y otra $\sum_{n=1}^\infty b_n$ converge absolutamente a B, entonces su producto de Cauchy converge a AB.