Problema de Plateau

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Problema de Plateau

Se dan dos puntos P₁(x₁,y₁) y P₂(x₂,y₂) del plano xy. Sea $x_1<\;x_2$. Supongamos que y = y(x) es la ecuación de una curva que une los puntos P₁ y P₂, es decir,

y = y(x₁), y = y(x₂).

La curva gira alrededor del eje x barriendo cierta superficie de revolución. Se pregunta: ¿cuál es la superficie de rotación que tiene la menor área posible? De este modo se llega al problema de la elección de la función y(x) para la que la integral

$S=2\pi\ \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+y^{'2}}\, dx$

(área de la superficie de revolución) es mínima. Estas superficies de revolución mínimas, bajo ciertas restricciones adicionales sobre los puntos P₁ y P₂, se denominan catenoides.

La generalización del problema formulado consiste en lo siguiente:

Se da una curva cerrada (de Jordan) en el espacio. Hallar la superficie que contiene esta curva y tal que el área abarcada por la curva sea mínima.

Éste es el problema que se conoce como problema de Plateau.

Enlaces externos

• http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/var.pdf (en ruso)

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