Problema de las doce monedas


Problema de las doce monedas

Problema de las doce monedas

En el problema de las doce monedas se propone encontrar una moneda falsa, entre un grupo de doce monedas, empleando una balanza de dos platillos.

La moneda falsa tiene un peso distinto de las otras. Hay que determinar, utilizando sólo tres pesadas, cuál es y si esta moneda pesa más o menos que cada una de las once restantes, que son exactamente iguales.

El problema admite una generalización inmediata aumentando el número de monedas y de pesadas: ¿Cuál es el número máximo de monedas (con una moneda falsa de distinto peso) que se pueden discernir con un número determinado de pesadas?

En su versión de 12 monedas habría aparecido en 1945, sin que se sepa su procedencia.

Solución

Existen varios procedimentos para solucionar el problema, y ofrecemos aquí dos. Uno de ellos, simple y de fácil generalización para más monedas, se explica a continuación:

Antes de nada se necesita conocer cuál es el número mínimo de pesadas necesarias para determinar la moneda falsa cuando se conoce si ésta pesa más o menos que el resto de monedas. Este es lo que llamaremos método A.

Sea un ejemplo con 9 monedas. Se realizan tres grupos de tres monedas cada uno y se pesa el grupo 1 frente al grupo 2:

  • Si existe equilibrio la moneda falsa está en el grupo 3.
  • Si no existe equilibrio la inclinación de la balanza indica cuál de los grupos es el que tiene la moneda falsa (pues conocemos si pesa más o menos).

De la pesada anterior quedan tres monedas que contiene la falsa. Se pesa la moneda A contra la moneda B:

  • Si existe equilibrio la moneda falsa es la moneda C.
  • Si no existe equilibrio la inclinación de la balanza indica cuál de las monedas es la falsa (recuérdese que se conoce si pesa más o menos que las demás).

Este algoritmo es fácilmente generalizable a un número cualquiera de monedas.

 Pesadas             Monedas totales         Grupos
       1              3                       1  
       2              9                       3
       3             27                       9
    ...           ...                    ...

Veamos ahora el procedimiento general, con la ayuda del método A:

Tomamos el conjunto de doce monedas, los dividos en tres grupos de 4 monedas cada uno, y dividimos cada uno de los grupos de 4 monedas en una moneda y un grupo de 3 monedas.

Ponemos dos grupos de 4 monedas en la balanza y dejamos el tercero fuera sobre la mesa. Observar la situación de la balanza. Ésta es la pesada número uno.

  Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
       1                       5                  9
     2,3,4                   6,7,8             10,11,12

Rotar los grupos de tres moviendo el del brazo de la derecha a la mesa, el de la mesa al brazo de la izquierda y el del brazo de la izquierda al brazo de la derecha.

  Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
       1                       5                  9
    10,11,12                 2,3,4              6,7,8              

Observar la situación de la balanza. Ésta es la pesada número dos.

  • Si la posición cambia esto identifica el grupo de tres que tiene la moneda falsa y nos dice si es más pesada o no. Utilizamos el método A para determinar en una pesada cuál es la moneda falsa.
  • Si la posición no cambia es una moneda del grupo de una, nos quedamos con los grupos de una moneda y las rotamos en sus posiciones. Esto nos da la moneda falsa y si pesa más o menos.

Este problema admite una generalización a 4 pesadas añadiendo una nueva fila de 9 monedes en cada uno de los 3 grupos: 13 monedas en cada grupo... Rotaremos los grupos de 9 monedas y razonamos igual que antes: si la posición cambia identificamos el grupo de 9 con la moneda falsa y le aplicamos el método A. Si la posición no cambia, quitamos los grupos de 9 y nuestras condiciones son ahora las del problema de 12 monedas con 3 pesadas.

Con 5 pesadas añadiremos otra fila más de 27 monedas en cada uno de los 3 grupos: 40 monedas en cada grupo.. Y procedemos análogamente como en el caso anterior...

La clave de la generalización está en el método A, y consiste en identificar el grupo de 3^n monedas con n pesadas. Como estamos agregando potencias de 3 en cada paso, obtendremos la suma de una progresión geométrica:

3 monedas en 2 pesadas
12 monedas en 3 pesadas: 3 + 3^2 = 12
39 monedas en 4 pesadas: 12 + 3^3 = 39
120 monedas en 5 pesadas: 39 + 3^4 = 120
363 monedas en 6 pesadas: 120 + 3^5 = 363
120 monedas en 7 pesadas: 363 + 3^6 = 1092

X (n) = (3^n-3)/2  monedas, con n pesadas.
Veamos que el resultado obtenido es el máximo de monedas para un número de pesadas:

Daremos ahora una demostración intuitiva, que sólo utiliza el método A descrito al principio:

Para (n+1) pesadas analicemos el máximo de monedas en los brazos de la balanza, y el máximo en la mesa:

Un máximo en los brazos es 3^n monedas, pues después de la 1ª inclinación de balanza nos quedan n pesadas y el método A asegura que 3^n es el máximo de monedas cuando conocemos su "inclinación". Pero como tiene que ser par, en los brazos habrá hasta 3^n-1 como máximo.

Veamos el máximo de monedas en la mesa: si la moneda falsa está en la mesa entonces hay equilibrio en la 1ª pesada y dispondremos de monedas "buenas". Escogemos un máximo de 3^(n-1) monedas de la mesa y las pesamos con otras tantas "buenas", si está ahí la moneda falsa el método A asegura encontrarla con (n-1) pesadas que nos quedan; si hay equilibrio repetimos el proceso con 3^(n-2) monedas, con (n-2) pesadas que nos quedan;...; si hay equilibrio repetimos el proceso con 3^2 monedas con otras 9 "buenas"; si hay equilibrio repetimos el proceso con 3^1 monedas con otras 3 "buenas"; finalmente, si hay equilibrio pesamos la última moneda con 1 "buena" para saber si pesa más o menos, con la última pesada que nos queda. Sumando todas las monedas de la mesa que hemos pesado, tenemos una progresión geómetrica de razón 3 y primer término A(1)=1:

S (n) = 1+3+9+...+ 3^(n-1) = A(1)*(r^n-1)/(r-1) = (3^n-1)/2

que, curiosamente, coincide con la mitad del máximo de los brazos, es decir como cada brazo de balanza.

Finalmente, sumamos el máximo obtenido en la mesa y en los brazos, y obtenemos otra progresión geómetrica:

1+3+9+...+3^(n-1) + 3^n-1 = 3+9+...+ 3^(n-1) + 3^n

que coincide con la obtenida en el procedimiento general. Luego ese es el máximo para (n+1) pesadas.

Para una demostración más precisa del máximo necesitamos otro procedimiento,
que además consigue identificar la moneda falsa:

Solución general al problema de la moneda falsa

Primero veamos un método de separación en grupos, parecido al método A descrito antes, que consigue aislar la moneda falsa en grupos de 3, 9, 27,.., 3^n para monedas "orientadas" (procedentes de la 1ª inclinación de balanza):

Si sólo tenemos un grupo de 3 monedas "orientadas", pesamos 2 entre sí e identificamos la falsa,
pues conocemos su "orientación" al proceder de la inclinación de la 1ª pesada. 

Si tenemos 9 monedas "orientadas", pondremos en cada brazo dos monedas "pesadas" (procedentes del brazo inclinado en la 1ª pesada) que denotamos (2+), y una "moneda ligera" (procedente del brazo opuesto) que denotamos (1-):

 brazo izquierdo             brazo derecho          mesa
    (2+), (1-)               (2+), (1-)           monedas restantes<=3

Según se incline la balanza identificamos un grupo de 3 donde está la moneda falsa.
Análogamente, si tenemos 27 monedas "orientadas" identificamos un grupo de 9 monedas:

 brazo izquierdo             brazo derecho          mesa
    (6+), (3-)               (6+), (3-)          monedas restantes<=9

Y en general, formamos 3 grupos de 3^(n+1) monedas:

 brazo izquierdo             brazo derecho          mesa

(2*3^n+), (3^n-)           (2*3^n+), (3^n-)       monedas restantes<=3^(n+1)

En general, para 3^n monedas "orientadas" necesitamos n pesadas: si 3 es el máximo para 1 pesada, no podemos exceder 3 grupos de 3 monedas en 2 pesadas; ni 3 grupos de 9 monedas en 3 pesadas...etc; por tanto:

El máximo de monedas "orientadas" con n pesadas es 3^n.

Ahora sólo queda ver cómo configurar la primera pesada:

Sea la sucesión X (n)= máximo de monedas para n pesadas.

Calculemos X (n+1): máximo de monedas para (n+1) pesadas.

podremos poner en los dos brazos hasta 3^n monedas, que es el máximo de monedas "orientadas" con n pesadas. Y como la balanza exige un número par, restamos 1:

Dos brazos = 3^n-1

Y en la mesa pondremos X (n)+1: sumamos 1 por no tener la exigencia de pesar un número par, pues ahora tenemos monedas extra procedentes del equilibrio de la balanza:

Mesa = X (n)+1

Calculamos el total entre los brazos y la mesa:

Total = Brazos + Mesa

X (n+1) = 3^n-1 + X (n)+1 = 3^n + X (n)

Por tanto, X (n) tiene estructura de suma de una progresión geométrica, S (n) de razón r= 3.

El primer término de la sucesión X (n) es:

X(2)= brazos + mesa = 2+1 = 3

pues en la mesa es evidente que sólo podemos poner 1 moneda, y en los dos brazos ya hemos argumentado que ha de ser igual a 3^1-1=2.

X(3) = 3^2 + X(2) = 12;  X(4) = 3^3 + X(3) = 39;  X(5) = 3^4 + X(4) = 120;........  
Así pues, X (n+1) = 3+9+27+...+3^n = S (n) = 3*(3^n-1)/2
 
y por tanto X (n) = S (n-1) = (3^n-3)/2.  Como queríamos demostrar

Además, por ser X (n) progresión geométrica se cumple que cada brazo y la mesa tienen las mismas monedas, pues:

        mesa =  brazo 

       X (n)+1= (3^n-1)/2

Veamos un esquema de los primeros términos, así como la configuración de la primera pesada para cada caso.

                                           PRIMERA  PESADA

                               brazo izquierdo          brazo derecho          mesa

2 pesadas: X(2) = 3             1 moneda                  1 moneda           1 moneda 
3 pesadas: X(3) = 12            4 monedas                4 monedas           4 monedas = X(2) + 1 
4 pesadas: X(4) = 39           13 monedas               13 monedas          13 monedas = X(3) + 1
5 pesadas: X(5) = 120          40 monedas               40 monedas          40 monedas = X(4) + 1
6 pesadas: X(6) = 363         121 monedas              121 monedas         121 monedas = X(5) + 1
7 pesadas: X(7) = 1092        364 monedas              364 monedas         364 monedas = X(6) + 1

Veamos el ejemplo de 12 monedas:

   Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
       1,2,3,4              5,6,7,8             9,10,11,12

a) Si se equilibra, atacamos las 4 bolas restantes formando un grupo de 3 monedas, pues ahora sí podemos pesar un número impar en los dos brazos, al tener monedas buenas:

   Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
      9,10                    11,1                12

b) Y si se inclina, tenemos 8=3^2-1 monedas "orientadas" y aplicamos el método de separación descrito:

        Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
           1 2 5                   3 4 6              7,8  
Si se equilibra, está en el grupo (7,8), evidentemente.
Si se inclina como la 1ª pesada, está en el grupo (1,2,6). 
Si no, estará en el grupo (3,4,5).

Otra solución general basada en códigos Hamming puede verse en:

Solución definitiva al problema de la moneda falsa



Wikimedia foundation. 2010.

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