Producto vectorial

Producto vectorial

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Esquema

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores $\mathbf a\,$ y $\mathbf b\,$ en el espacio vectorial ℝ³. El producto vectorial entre $\mathbf a\,$ y $\mathbf b\,$ da como resultado un nuevo vector, $\mathbf c\,$. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:

• El módulo de $\mathbf c\,$ está dado por

$c = a \, b \, \sin\theta$

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.

• La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b.
• El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

${\mathbf a \times \mathbf b = {a} \, {b} \, {\rm{sen}}{\theta} \ \hat\mathbf n}$

donde $\hat\mathbf n$ es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.

Base del espacio vectorial

Sea un sistema de referencia $S = \{O; \mathbf i , \mathbf j , \mathbf k \}$ en el espacio vectorial ℝ³. Se dice que S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

1. $\mathbf i \cdot \mathbf j = \mathbf j \cdot \mathbf k = \mathbf k \cdot \mathbf i = 0$; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. $|\mathbf i|= |\mathbf j|= |\mathbf k|= 1$; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. $\mathbf i \times \mathbf j = \mathbf k$, $\mathbf j \times \mathbf k = \mathbf i$, $\mathbf k \times \mathbf i = \mathbf j$; es decir, cumplen la regla de la mano derecha (también llamada "regla del sacacorchos").

Producto vectorial

Sean $\mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k$ y $\mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k$ dos vectores concurrentes de $\mathbb{R}^3$, el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto $\times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$, y se escribe $\mathbf u \times \mathbf v$, como el vector:

$\mathbf u \times \mathbf v = \left( \det \begin{pmatrix}u_y & u_z \\v_y & v_z \\\end{pmatrix} \cdot \mathbf i - \det \begin{pmatrix}u_x & u_z \\v_x & v_z \\\end{pmatrix} \cdot \mathbf j + \det \begin{pmatrix}u_x & u_y \\v_x & v_y \\\end{pmatrix} \cdot \mathbf k \right)$

En el que

$\det \begin{pmatrix}a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$, es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

$\mathbf u \times \mathbf v = \det \begin{pmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \mathbf i - \det \begin{pmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \mathbf j + \det \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{pmatrix} \cdot \mathbf k$

Que da origen a la llamada regla del sacacorchos o regla de la mano derecha: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de $\mathbf u \times \mathbf v$ es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

Hay que añadir que esta notación compacta es inconsistente, pues en una matriz no se puede mezclar escalares ($u_x \,$, $v_y \,$) con vectores ($\mathbf i \,$, $\mathbf j \,$).

Ejemplo

El producto vectorial de los vectores $\mathbf a = (2,0,1)$ y $\mathbf b = (1,-1,3)$ se calcula del siguiente modo:

$\mathbf a \times \mathbf b = \begin{pmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\2 & 0 & 1 \\1 & -1 & 3 \\\end{pmatrix}$

Expandiendo el determinante:

$\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{pmatrix}0 & 1 \\-1 & 3 \\\end{pmatrix} + (-1) \mathbf j \begin{pmatrix}2 & 1 \\1 & 3 \\\end{pmatrix} + \mathbf k \begin{pmatrix}2 & 0 \\1 & -1 \\\end{pmatrix} = \mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k$

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).

Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores $\mathbf a$, $\mathbf b$ y $\mathbf c$:

1. $\mathbf a \times \mathbf b = - (\mathbf b \times \mathbf a)$, (anticonmutatividad)
2. Si $\mathbf a \neq \mathbf 0$ y $\mathbf b \neq \mathbf 0$, entonces $\mathbf a \times \mathbf b = 0$ implica que $\mathbf a \| \mathbf b$; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. $( \mathbf a + \mathbf b ) \times \mathbf c = \mathbf a \times \mathbf c + \mathbf b \times \mathbf c$.
4. $\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a \cdot \mathbf b)$, conocida como regla de la expulsión.
5. $\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) + \mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b ) + \mathbf b \times (\mathbf c \times \mathbf a ) = 0$, conocida como identidad de Jacobi.
6. $|\mathbf a \times \mathbf b| = a \, b \, {\rm{sen}} \theta$, siendo θ el ángulo menor entre los vectores $\mathbf a$ y $\mathbf b$; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
7. El vector unitario $\hat\mathbf n = \frac{ \mathbf a \times \mathbf b }{|\mathbf a \times \mathbf b|}$ es normal al plano que contiene a los vectores $\mathbf a$ y $\mathbf b$.

Vectores axiales

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

Dual de Hodge

Artículo principal: Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

$\vec{a} \times \vec{b} = *(\phi_\vec{a} \wedge \phi_\vec{b})$

Donde $\phi_\vec{a}, \phi_\vec{b}$ denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

Otras operaciones vectoriales

Los vectores tienen definida la operación interna de adición de forma sencilla y casi evidente pero para el producto de dos vectores se definen tres operaciones matemáticas externas:

• producto escalar
• producto vectorial
• producto tensorial

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz, encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto.

El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa, ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, $\mathbb{R}^3$, el producto vectorial es una operación interna.

Por ello el producto vectorial se define en ℝ³.

Generalización

Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a n dimensiones, con $n \ne {0,1}$ y sólo tendrá sentido si se usan n − 1 vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.

Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:

$V^a = \epsilon^{aa_1\dots a_{n-1}}V_1^{a_1}\dots V_{n-1}^{a_{n-1}}$

Referencias

Véase también

• Producto escalar
• Doble producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.

Enlaces externos

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