Producto exterior

En matemática, el producto exterior es una antisimetrización (alternación) del producto tensorial. El producto exterior es una multiplicación asociativa y distributiva de funciones multilineales antisimétrico que sea anticonmutativo para las funciones con el número impar de variables y conmutativo de otra manera. La teoría sistemática empieza en la construcción de la potencia exterior para un espacio vectorial.

Teoría Grassmann

La teoría algebraica se remonta a Hermann Grassmann. Su método de construir las estructuras algebraicas utilizó generadores y relaciones y no es manifiestamente independiente de una base. Grassmann utilizó solamente las álgebras reales, es decir las álgebras en que los escalares son los números reales (él no hizo ninguna distinción entre los números reales y las funciones a valores reales, lo que sin embargo cambia la teoría algebraica drásticamente.) Sin embargo, seguimos esta actitud aquí y damos las definiciones para algunos de sus productos: producto (definición general):

Un producto es una función lineal del producto tensorial de un espacio con sí mismo en un espacio lineal.

'Nota:' tal producto es distributivo, (a izquierda y derecha) pero puede no ser unital o asociativo.

Producto exterior (producto de la cuña):

Sea { e_i } una base de un espacio vectorial V. Un producto exterior, o producto cuña, de dos tales generadores se define exigiendo las reglas de cómputo (relaciones) siguientes:

• $e_i \wedge e_j = e_{ij} = -e_{ji}$ si y solamente si $i \ne j$
• $e_i \wedge e_i = 0$

y se amplía este proceso recursivamente a los productos de un grado más alto vía

• $e_i \wedge e_{j..k} = e_{ij..k} = -e_{ji..k}$ etc.

Nótese que el producto toma valores en un nuevo espacio V ∧ V (índice doble) que sea un espacio factor del producto tensorial $V \otimes V$. El producto es asociativo por definición y alternante, es decir se anula si dos índices son iguales. Un cálculo combinatorio breve demuestra que a partir de n vectores de base se obtienen 2ⁿ productos linealmente independientes. Estos productos construyen el espacio $V^\wedge$ vectorial subyacente a un álgebra de Grassmann (véase abajo). El producto exterior se extiende al espacio entero $V^\wedge$ por bilinealidad. El álgebra de Grassmann es un álgebra graduada. Definimos el grado de los escalares como cero y el grado de los vectores de base como 1. El grado de un producto diferente a cero de generadores cuenta el número de generadores. El espacio de un álgebra de Grassmann se puede por lo tanto descomponer en una suma directa de subespacios homogéneos de grado definido, es decir el espacio expandido por todos los productos que tienen exactamente k generadores:

$V^\wedge = V^{\wedge 0} \oplus V^{\wedge 1} \oplus \cdots \oplus V^{\wedge n}$

donde $V^{\wedge 0}$ se identifica con $\mathbb{R}$, los números reales

Teoría moderna

Como en el caso de los productos tensoriales, el número de las variables de la cuña de dos funciones son la suma de los números de sus variables:

Definición:

$\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)$

donde k y m son los números de las variables para cada una de las dos funciones y alternaciones antisimétricas de una función se define como el promedio signado de los valores sobre todas las permutaciones de sus variables:

${\rm Alt}(\omega)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\Sigma_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega[\sigma(x_1),...\sigma(x_k)]$

Producto cuña de espacios, potencia exterior

El producto cuña de dos espacios vectoriales se pueden identificar con el subespacio de su producto tensorial generados por los tensores antisimétricos. (esta definición, trabaja solamente con cuerpos de característica cero. En trabajo algebraico uno puede necesitar una definición alternativa, basada en una propiedad universal. Esto significa tomar un cociente apropiado del producto tensorial, de la misma dimensión. La diferencia es irrelevante para los espacios vectoriales reales y complejos.)

El producto cuña de un espacio vectorial de V con sí mismo k veces se llama su potencia exterior k-ésima y es el Λ^kV. Si dim de V = n, entonces dim Λ^kV es (ⁿ_k) = n!/(k!(n-k)!).

Ejemplo: V^* sea el espacio dual de V, es decir el espacio de todos las funciones lineales de V a R. la segunda potencia exterior Λ² V^* es el espacio de todos los mapas bilineales antisimétricos de V x V a R.

Definición con generalidad

La definición de un operador multilineal antisimétrico es un operador m: Vⁿ → X tales que si hay una dependencia lineal entre sus argumentos, el resultado es 0. Observe que la adición de dos operadores antisimétricos, o la multiplicación de uno por un escalar, sigue siendo antisimétrica -- por tanto los operadores multilineales antisimétricos en Vⁿ forma un espacio vectorial. El ejemplo más famoso de un operador antisimétrico es el determinante. El espacio "n-ésima cuña" W, para un módulo V sobre un anillo conmutativo R, junto con el operador cuña lineal antisimétrico w: Vⁿ → W es tal que para cada operador antisimétrico n-lineal m: Vⁿ → X existe un operador lineal único l: W → X tal que m = l o w. La cuña es única módulo un isomorfismo único.

Una forma de definir el espacio cuña constructivamente es dividiendo el espacio tensorial por el subespacio generado por todos los tensores de los n-uplas que son linealmente dependientes.

La dimensión del espacio cuña k-ésimo para un módulo libre de dimensión n es (ⁿ_k) = n!/(k!(n-k)!). En particular, ese significa que módulo una constante, hay un único funcional antisimétrico con la aridad de la dimensión del espacio. También observe que cada funcional lineal es antisimétrico. Observe asimismo que el operador cuña conmuta con el operador ^*. Es decir podemos definir una cuña en funcionales tales que el resultado es un funcional multilineal antisimétrico. En general, podemos definir la cuña de un funcional antisimétrico m-lineal y un funcional antisimétrico n-lineal dando un funcional antisimétrico (m+n)-lineal. Puesto que resulta que esta operación es asociativa, podemos también definir la potencia de un funcional lineal antisimétrico.

Álgebras de Grassmann

Un álgebra de Grassmann abstracta (también conocida como álgebra exterior) es un álgebra asociativa unital K generado por un conjunto S conforme a la relación χξ+ξχ=0 para cualquier χ, ξ en S. Esta definición dice que los generadores son cantidades anticonmutativas y debe ser modificada en caso de que K tenga característica 2.

La construcción de tal álgebra es la misma construcción del producto cuña dada arriba: tome el espacio vectorial V que tiene S como base, y la suma directa de todas las potencias exteriores de V, usando el producto cuña en cada parte graduada. Si S es finito de cardinal n, el álgebra de Grassmann tiene como base un producto cuña por cada subconjunto de S, y cada producto compuesto de cuñas de elementos de S con repeticiones se iguala a 0.

Formas diferenciales

Al tratar con variedades diferenciables, definimos n-forma como una sección de la variedad a la potencia cuña n-ésima del fibrado cotangente. Tal forma se dirá diferenciable si, cuando es aplicado a n campos vectoriales diferenciables, el resultado es una función diferenciable. El producto cuña tiene sentido punto a punto para las formas diferenciales.