Producto libre de grupos

Producto libre de grupos

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En las matemáticas, particularmente en la teoría de grupos, el producto libre de grupos es la construcción de un nuevo grupo a partir de una dada colección de ellos y que permite la inclusión como subgrupos a cada uno de los factores que le construyen.

Para ilustrar la construcción, más precisamente, utilicemos dos grupos G, H. Entonces su producto libre es el grupo G * H que consiste en un nuevo grupo cuyos elementos tienen la forma canónica

$g_1h_1g_2h_2\cdots g_rh_r$

donde los $g_i\in G$ y los $h_i\in H$ es decir los elementos de G*H son palabras reducidas de letras alternadas que son elementos de los dos grupos G y H respectivamente.

Entonces uno puede pensar que el grupo G está incluido en G*H pues trivialmente vemos que cada elemento de G es una palabra reducida en G*H, y similarmente para H.

Un ejemplo básico es el grupo libre, F₂ de rango dos; éste, se puede interpretar como

$F_2=\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$

Otro un poco más complejo es $PSL(\mathbb{Z},2)$ que se interpreta como

$PSL(\mathbb{Z},2)=\mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_3$

Generalizaciones

Una manera similar pero más general de construir grupos a partir de antiguos es el producto libre amalgamado, que consiste empezar con dos grupos arbitrarios A, B y un tercer C que se encuentra encajado es ambos A y B, entonces uno toma el cociente $\frac{A\star B}{N(C)}\,$ a partir del producto libre de A con B y haciendo módulo N(C) que es la clausura normal de C en ambos A, B.

En símbolos matemáticos se acostumbra a escribir al producto libre de A con B amalgamados por C como:

$A\star_{C}B$

Ejemplos de esta construcción aparecen en el teorema de Seifert-van Kampen donde se calcula es grupo fundamental de un espacio topológico en términos de los grupos fundamentales de algunos de sus subespacios.

Referencias

1. libro de Ross Geoghegan: Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
2. panfleto de Peter Scott y Terry Wall titulado: Topological methods in group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137-203. En dirección [1], en el apartado de sources for the Bass Serre theory puedes descargarlo.

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