Punto de inflexión

Punto de inflexión

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Gráfico de y = x³ con un punto de inflexión en el punto (0,0).

Gráfico de y = x³, rotado, con tangente en el punto de inflexión en el punto (0,0).

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:

1. Se halla la primera derivada de $f \rightarrow f'(x)$
2. Se halla la segunda derivada de $f \rightarrow f''(x)$
3. Se halla la tercera derivada de $f \rightarrow f'''(x)$
4. Se iguala la segunda derivada a 0: $f\,''(x) = 0$
5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: $x = \big\{x_1, x_2,..., x_n / f''(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$.
6. Se halla la imagen de cada $x_i\,$sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada $x_i\,$:
   1. Si $f'''\,(x_i) \ne 0$, se tiene un punto de inflexión en $P\, (x_i, f(x_i))$.
   2. Si $f'''\,(x_i) = 0$, debemos sustituir $x_i\,$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que $x_i\,$ no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
      1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
      2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

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Ejemplo

f(x) = x⁴ + 2x no tiene puntos de inflexión porque la derivada segunda es siempre igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad. Sin embargo en x₀ = 0 la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en x₀ = 0 es la derivada cuarta, que es positiva. Observese que f tampoco presenta un extremo en x₀.

Véase también

• Criterio de la tercera derivada
• Criterio de la segunda derivada
• Criterio de la primera derivada
• Extremos de una función
• Punto crítico
• Punto de silla
• Punto estacionario
• Teoría de la bifurcación
• Teoría de las catástrofes

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