Punto de silla

Punto de silla

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En una función de varias variables, si el gradiente en un punto se anula, puede haber un máximo, mínimo ó un punto de silla, que no es ni máximo ni mínimo. Es un punto en el que la función en una dirección crece, y en otra decrece. Debe su nombre a que las funciones en estos puntos tienen forma de silla de montar.

Ejemplo

Un ejemplo típico es el Paraboloide hiperbólico, la función en R³:

$z = {x}^2 - {y}^2 \,$.

Para determinar sus extremos relativos, calculamos su derivada parcial respecto a x:

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \,$

en el punto donde esta derivada valga cero, puede ser un extremo relativo:

$\frac{\partial z}{\partial x} = 0 \longrightarrow 2x = 0 \longrightarrow x = 0 \,$

en el punto x = 0 puede haber un extremo relativo, calculando su derivada segunda vemos:

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$

que es un mínimo, esto es siguiendo el eje de las x, en el punto x = 0 la funcion presenta un mínimo relativo.

Veamos esto mismo en la dirección del eje de las y, su derivada parcial primera es:

$\frac{\partial z}{\partial y} = -2y \,$

Cuando esta derivada primera valga cero, puede presentar un extremo relativo:

$\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \longrightarrow -2y = 0 \longrightarrow y = 0 \,$

en el punto y = 0, se da esta circunstancia, si vemos su derivada segunda tenemos:

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2 \,$

que toma valor negativo, luego este punto y = 0, es un máximo relativo, el punto x = 0, y = 0, es un punto de silla, dado que en la dirección de las x es mínimo y en la dirección de las y es un máximo.

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