Reducción de orden


Reducción de orden

Reducción de orden

En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones (y1) es conocida y se busca la segunda (y2).

Uso

Dada una ecuación diferencial

y''+p(t)y'+q(t)y=0\,

y una sola solución (y1(t)), y sea la segunda solución definida por

y_2=v(t)y_1(t)\,

donde v(t) es una función arbitraria. Así,

y_2'=v'(t)y_1(t)+v(t)y_1'(t)\,

y

y_2''=v''(t)y_1(t)+2v'(t)y_1'(t)+v(t)y_1''(t).\,

Si se sustituyen por y, y', y y'' a la ecuación diferencial, entonces

y_1(t)\,v''+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'+(y_1''(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t))\,v=0.

Como y1(t) es solución de la ecuación diferencial original, y1''(t) + p(t)y1'(t) + q(t)y1(t) = 0, se puede reducir a

y_1(t)\,v''+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'=0

que es una ecuación diferencial de primer orden por v'(t). Dividiendo por y1(t), se obtiene

v''+\left(\frac{2y_1'(t)}{y_1(t)}+p(t)\right)\,v'=0

y v'(t) se puede encontrar utilizado el método general:

v'(t) = C_1y_1^2(t)e^{-\int p(t)dt}

Una vez se ha encontrado v'(t), se integra y se sustituye a la ecuación original por y2:

y_2=v(t)y_1(t).\,

Referencias

  • (en inglés) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
  • (en inglés) Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
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