Árbol binario de búsqueda

Un árbol binario de búsqueda es un tipo particular de árbol binario que presenta una estructura de datos en forma de árbol usada en informática.

Descripción

Un árbol binario de búsqueda (ABB) es un árbol binario definido de la siguiente forma:

Todo árbol vacío es un árbol binario de búsqueda.

Un árbol binario no vacío, de raíz R, es un árbol binario de búsqueda si:
• En caso de tener subárbol izquierdo, la raíz R debe ser mayor que el valor máximo
 almacenado en el subárbol izquierdo, y que el subárbol izquierdo sea un árbol binario
 de búsqueda.
• En caso de tener subárbol derecho, la raíz R debe ser menor que el valor mínimo
 almacenado en el subárbol derecho, y que el subárbol derecho sea un árbol binario 
 de búsqueda.

Un árbol binario de búsqueda de tamaño 9 y profundidad 3, con raíz 8 y hojas 1, 4, 7 y 13

Para una fácil comprensión queda resumido en que es un árbol binario que cumple que el subárbol izquierdo de cualquier nodo (si no está vacío) contiene valores menores que el que contiene dicho nodo, y el subárbol derecho (si no está vacío) contiene valores mayores.

Para estas definiciones se considera que hay una relación de orden establecida entre los elementos de los nodos. Que cierta relación esté definida, o no, depende de cada lenguaje de programación. De aquí se deduce que puede haber distintos árboles binarios de búsqueda para un mismo conjunto de elementos.

La altura h en el peor de los casos siempre el mismo tamaño que el número de elementos disponibles. Y en el mejor de los casos viene dada por la expresión h = ceil(log₂(c + 1)), donde ceil indica redondeo por exceso.

El interés de los árboles binarios de búsqueda (ABB) radica en que su recorrido en inorden proporciona los elementos ordenados de forma ascendente y en que la búsqueda de algún elemento suele ser muy eficiente.

Dependiendo de las necesidades del usuario que trate con una estructura de este tipo se podrá permitir la igualdad estricta en alguno, en ninguno o en ambos de los subárboles que penden de la raíz. Permitir el uso de la igualdad provoca la aparición de valores dobles y hace la búsqueda más compleja.

Un árbol binario de búsqueda no deja de ser un caso particular de árbol binario, así usando la siguiente especificación de árbol binario en maude:

   fmod ARBOL-BINARIO {X :: TRIV}is
   sorts ArbolBinNV{X} ArbolBin{X} .
   subsort ArbolBinNV{X} < ArbolBin{X} .
   *** generadores
   op crear : -> ArbolBin{X} [ctor] .
   op arbolBin : X$Elt ArbolBin{X} ArbolBin{X} -> ArbolBinNV{X} [ctor] .
   endfm

podemos hacer la siguiente definición para un árbol binario de búsqueda (también en maude):

   fmod ARBOL-BINARIO-BUSQUEDA {X :: ORDEN} is
       protecting ARBOL-BINARIO{VOrden}{X} .
       sorts ABB{X} ABBNV{X} .
       subsort ABBNV{X} < ABB{X} .
       subsort ABB{X} < ArbolBin{VOrden}{X} .
       subsort ABBNV{X} < ArbolBinNV{VOrden}{X} .
   *** generadores
   op crear : -> ArbolBin{X} [ctor] .
   op arbolBin : X$Elt ArbolBin{X} ArbolBin{X} -> ArbolBinNV{X} [ctor] .
   endfm

con la siguiente teoría de orden:

    fth ORDEN is
    protecting BOOL .
    sort Elt .
    *** operaciones
    op _<_ : Elt Elt -> Bool .
    endfth

para que un árbol binario pertenezca al tipo árbol binario de búsqueda debe cumplir la condición de ordenación siguiente que iría junto al módulo ARBOL-BINARIO-BUSQUEDA:

   var  R : X$Elt .
   vars INV DNV : ABBNV{X} .
   vars I D : ABB{X} .
   mb crear : ABB{X} .
   mb arbolBin(R, crear, crear) : ABBNV{X} .
   cmb arbolBin(R, INV, crear) : ABBNV{X} if R > max(INV) .
   cmb arbolBin(R, crear, DNV) : ABBNV{X} if R < min(DNV) .
   cmb arbolBin(R, INV, DNV) : ABBNV{X} if (R > max(INV)) and (R < min(DNV)) .
   ops min max : ABBNV{X} -> X$Elt .
   eq min(arbolBin(R, crear, D)) = R .
   eq min(arbolBin(R, INV, D)) = min(INV) .
   eq max(arbolBin(R, I, crear)) = R .
   eq max(arbolBin(R, I, DNV)) = max(DNV) .

Operaciones

Todas las operaciones realizadas sobre árboles binarios de búsqueda están basadas en la comparación de los elementos o clave de los mismos, por lo que es necesaria una subrutina, que puede estar predefinida en el lenguaje de programación, que los compare y pueda establecer una relación de orden entre ellos, es decir, que dados dos elementos sea capaz de reconocer cual es mayor y cual menor. Se habla de clave de un elemento porque en la mayoría de los casos el contenido de los nodos será otro tipo de estructura y es necesario que la comparación se haga sobre algún campo al que se denomina clave.

Búsqueda

La búsqueda consiste acceder a la raíz del árbol, si el elemento a localizar coincide con éste la búsqueda ha concluido con éxito, si el elemento es menor se busca en el subárbol izquierdo y si es mayor en el derecho. Si se alcanza un nodo hoja y el elemento no ha sido encontrado se supone que no existe en el árbol. Cabe destacar que la búsqueda en este tipo de árboles es muy eficiente, representa una función logarítmica. El maximo número de comparaciones que necesitaríamos para saber si un elemento se encuentra en un árbol binario de búsqueda estaría entre [log₂(N+1)] y N, siendo N el número de nodos. La búsqueda de un elemento en un ABB (Árbol Binario de Búsqueda) se puede realizar de dos formas, iterativa o recursiva.

Ejemplo de versión iterativa en el lenguaje de programación C, suponiendo que estamos buscando una clave alojada en un nodo donde está el correspondiente "dato" que precisamos encontrar:

data Buscar_ABB(abb t,clave k) 
{
  abb p;
  dato e;
  e=NULL;
  p=t;
  if (!estaVacio(p))
    {
      while (!estaVacio(p) && (p->k!=k) )
        {
          if (k < p->k)
            {
              p=p->l;
            }
          if (p->k < k)
            {
              p=p->r;
            }
        }
      if (!estaVacio(p) &&(p->d!=NULL) )
        {
          e=copiaDato(p->d);                       
        }                                          
    }
  return e;
}

Véase ahora la versión recursiva en ese mismo lenguaje:

int buscar(tArbol *a, int elem)
{
  if (a == NULL)
    return 0;
  else if (a->clave < elem)
    return buscar(a->hDerecho, elem);
  else if (a->clave > elem)
    return buscar(a->hIzquierdo, elem);
  else
    return 1;
}

Otro ejemplo en Python:

def search_binary_tree(node, key):
   if node is None:
        return None  # not found
    if key < node.key:
        return search_binary_tree(node.left, key)
    else if key > node.key:
        return search_binary_tree(node.right, key)
    else:
        return node.value

En Pascal:

Function busqueda(T:ABR, y: integer):ABR
begin
  if (T=nil) or (^T.raiz=y) then
     busqueda:=T;
  else
     if (^T.raiz<y) then
        busqueda:=busqueda(^T.dch,y);
     else
        busqueda:=busqueda(^T.izq,y);
end;

Una especificación en maude para la operación de búsqueda quedaría de la siguiente forma:

    op esta? : X$Elt ABB{X} -> Bool .
    var R R1 R2 : X$Elt .
    vars I D : ABB{X} .
    eq esta?(R, crear) = false .
    eq esta?(R1, arbolBin(R2, I, D)) = if R1 == R2 then 
                                     true
                                  else 
                                      if R1 < R2 then
                                          esta?(R1, I)
                                      else 
                                          esta?(R1, D)
                                      fi
                                  fi .

Inserción

La inserción es similar a la búsqueda y se puede dar una solución tanto iterativa como recursiva. Si tenemos inicialmente como parámetro un árbol vacío se crea un nuevo nodo como único contenido el elemento a insertar. Si no lo está, se comprueba si el elemento dado es menor que la raíz del árbol inicial con lo que se inserta en el subárbol izquierdo y si es mayor se inserta en el subárbol derecho. De esta forma las inserciones se hacen en las hojas.

Evolución de la inserción del elemento "5" en un ABB.

Como en el caso de la búsqueda puede haber varias variantes a la hora de implementar la inserción en el TAD (Tipo Abstracto de Datos), y es la decisión a tomar cuando el elemento (o clave del elemento) a insertar ya se encuentra en el árbol, puede que éste sea modificado o que sea ignorada la inserción. Es obvio que esta operación modifica el ABB perdiendo la versión anterior del mismo.

A continuación se muestran las dos versiones del algoritmo en pseudolenguaje, iterativa y recursiva, respectivamente.

PROC InsertarABB(árbol:TABB; dato:TElemento)
VARIABLES
   nuevonodo,pav,pret:TABB
   clavenueva:Tclave
   ele:TElemento
INICIO
   nuevonodo <- NUEVO(TNodoABB)
   nuevonodo^.izq <- NULO
   nuevonodo^.der <- NULO
   nuevonodo^.elem <- dato
   SI ABBVacío (árbol) ENTONCES
      árbol <- nuevonodo
   ENOTROCASO
      clavenueva <- dato.clave
      pav <- árbol                // Puntero Avanzado
      pret <- NULO                // Puntero Retrasado
      MIENTRAS (pav <- NULO) HACER
          pret <- pav
          ele = pav^.elem
          SI (clavenueva < ele.clave ) ENTONCES
               pav <- pav^.izq 
          EN OTRO CASO
               pav <- pav^.dch
          FINSI
      FINMIENTRAS
      ele = pret^.elem
      SI (clavenueva < ele.clave ) ENTONCES
          pret^.izq <- nuevonodo 
      EN OTRO CASO
          pret^.dch <- nuevonodo 
      FINSI
   FINSI
FIN

PROC InsertarABB(árbol:TABB; dato:TElemento)
VARIABLES
    ele:TElemento
INICIO
    SI (ABBVacío(árbol)) ENTONCES
       árbol <- NUEVO(TNodoABB)
       árbol^.izq <- NULO
       árbol^.der <- NULO
       árbol^.elem <- dato
    EN OTRO CASO
       ele = InfoABB(árbol)
       SI (dato.clave < ele.clave) ENTONCES
           InsertarABB(árbol^.izq, dato)
       EN OTRO CASO
           InsertarABB(árbol^.dch, dato)
       FINSI
    FINSI
FIN

Se ha podido apreciar la simplicidad que ofrece la versión recursiva, este algoritmo es la traducción en C. El árbol es pasado por referencia para que los nuevos enlaces a los subárboles mantengan la coherencia.

void insertar(tArbol **a, int elem)
{
  if (*a == NULL)
  {
    *a = (tArbol *) malloc(sizeof(tArbol));
    (*a)->clave = elem;
    (*a)->hIzquierdo =  NULL;
    (*a)->hDerecho = NULL;
  }
  else if ((*a)->clave < elem)
    insertar(&(*a)->hDerecho, elem);
  else if ((*a)->clave > elem)
    insertar(&(*a)->hIzquierdo, elem);
}

Ejemplo en Python:

def binary_tree_insert(node, key, value):
    if node is None:
        return TreeNode(None, key, value, None)
    if key == node.key:
        return TreeNode(node.left, key, value, node.right)
    if key < node.key:
        return TreeNode(binary_tree_insert(node.left, key, value), node.key, node.value, node.right)
    else:
        return TreeNode(node.left, node.key, node.value, binary_tree_insert(node.right, key, value))

Otro ejemplo en Pascal:

Procedure Insercion(var T:ABR, y:integer)
var
  ultimo:ABR;
  actual:ABR;
  nuevo:ABR;
begin
  ultimo:=nil;
  actual:=T;
  while (actual<>nil) do
  begin
    ultimo:=actual;
    if (^actual.raiz<y) then
       actual:=^actual.dch;
    else
       actual:=^actual.izq;
  end;
  new(nuevo);
  ^nuevo.raiz:=y;
  ^nuevo.izq:=nil;
  ^nuevo.dch:=nil;
  if ultimo=nil then
     T:=nuevo;
  else
     if ^ultimo.raiz<y then
        ^ultimo.dch:=nuovo;
     else
        ^ultimo.izq:=nuevo;
end;

Véase también un ejemplo de algoritmo recursivo de inserción en un ABB en el lenguaje de programación Maude:

    op insertar : X$Elt ABB{X} -> ABBNV{X} .
    var R R1 R2 : X$Elt .
    vars I D : ABB{X} .
    eq insertar(R, crear) = arbolBin(R, crear, crear) .
    eq insertar(R1, arbolBin(R2, I, D)) =  if R1 < R2 then
                                               arbolBin(R2, insertar(R1, I), D)
                                           else                                          
                                               arbolBin(R2, I, insertar(R1, D))
                                           fi .

La operación de inserción requiere, en el peor de los casos, un tiempo proporcional a la altura del árbol.

Borrado

La operación de borrado no es tan sencilla como las de búsqueda e inserción. Existen varios casos a tener en consideración:

• Borrar un nodo sin hijos ó nodo hoja: simplemente se borra y se establece a nulo el apuntador de su padre.

Nodo a eliminar 74

• Borrar un nodo con un subárbol hijo: se borra el nodo y se asigna su subárbol hijo como subárbol de su padre.

Nodo a eliminar 70

• Borrar un nodo con dos subárboles hijo: la solución está en reemplazar el valor del nodo por el de su predecesor o por el de su sucesor en inorden y posteriormente borrar este nodo. Su predecesor en inorden será el nodo más a la derecha de su subárbol izquierdo (mayor nodo del subarbol izquierdo), y su sucesor el nodo más a la izquierda de su subárbol derecho (menor nodo del subarbol derecho). En la siguiente figura se muestra cómo existe la posibilidad de realizar cualquiera de ambos reemplazos:

Nodo a eliminar 59

El siguiente algoritmo en C realiza el borrado en un ABB. El procedimiento reemplazar busca la mayor clave del subárbol izquierdo y la asigna al nodo a eliminar.

void borrar(tArbol **a, int elem)
{
  void reemplazar(tArbol **a, tArbol **aux);
  tArbol *aux;
 
  if (*a == NULL)
    return;
 
  if ((*a)->clave < elem)
    borrar(&(*a)->hDerecho, elem);
  else if ((*a)->clave > elem)
    borrar(&(*a)->hIzquierdo, elem);
  else if ((*a)->clave == elem)
  {
    aux = *a;
    if ((*a)->hIzquierdo == NULL)
      *a = (*a)->hDerecho;
    else if ((*a)->hDerecho == NULL)
      *a = (*a)->hIzquierdo;
    else
      reemplazar(&(*a)->hIzquierdo, &aux);
 
    free(aux);
  }
}
 
void reemplazar(tArbol **a, tArbol **aux)
{
  if ((*a)->hDerecho == NULL)
  {
    (*aux)->clave = (*a)->clave;
    *aux = *a;
    *a = (*a)->hIzquierdo;
  }
  else
    reemplazar(&(*a)->hDerecho, aux);
}

Otro ejemplo en Pascal.

Procedure Borrar(var T:ABR, x:ABR)
var
   aBorrar:ABR;
   anterior:ABR;
   actual:ABR;
   hijo:ABR;
begin
   if (^x.izq=nil) or (^x.dch=nil) then
      aBorrar:=x;
   else
      aBorrar:=sucesor(T,x);
   actual:=T;
   anterior:=nil;
   while (actual<>aBorrar) do
   begin
      anterior:=actual;
      if (^actual.raiz<^aBorrar.raiz) then
         actual:=^actual.dch;
      else 
         actual:=^actual.izq;
   end;
   if (^actual.izq=nil) then
      hijo:=^actual.dch;
   else
      hijo:=^actual.izq;
   if (anterior=nil) then
      T:=hijo;
   else 
      if (^anterior.raiz<^actual.raiz) then
         ^anterior.dch:=hijo;
      else
         ^anterior.izq:=hijo;
   if (aBorrar<>x) then
       ^x.raiz:=^aBorrar.raiz;
   free(aBorrar);
end;

Véase también un ejemplo de algoritmo recursivo de borrado en un ABB en el lenguaje de programación Maude, considerando los generadores crear y arbolBin. Esta especificación hace uso de la componente clave a partir de la cual se ordena el árbol.

    op eliminar : X$Elt ABB{X} -> ABB{X} .
    varS R M : X$Elt .
    vars I D : ABB{X} .
    vars INV DNV : ABBNV{X} .
    ops max min : ArbolBin{X} -> X$Elt .
    eq min(arbolBin(R, crear, D)) = R .
    eq max(arbolBin(R, I, crear)) = R .
    eq min(arbolBin(R, INV, D)) = min(INV) .
    eq max(arbolBin(R, I, DNV )) = max(DNV) .
    eq eliminar(M, crear) = crear .
    ceq eliminar(M, arbolBin(R, crear, D)) = D if M == clave(R) .
    ceq eliminar(M, arbolBin(R, I, crear)) = I if M == clave(R) .
    ceq eliminar(M, arbolBin(R, INV, DNV)) = arbolBin(max(INV), eliminar(clave(max(INV)), INV), DNV) if M == clave(R) .
    ceq eliminar(M, arbolBin(R, I, D)) = arbolBin(R, eliminar(M, I), D) if M < clave(R) .
    ceq eliminar(M, arbolBin(R, I, D)) = arbolBin(R, I, eliminar(M, D)) if clave(R) < M .

Otras Operaciones

Otra operación sería por ejemplo comprobar que un árbol binario es un árbol binario de búsqueda. Su implementación en maude es la siguiente:

   op  esABB? : ABB{X} -> Bool .
   var  R : X$Elt .
   vars  I D : ABB{X} .
   eq esABB?(crear) = true .
   eq esABB?(arbolbBin(R, I, D)) = 
       (Max(I) < R) and (Min(D) > R) and
       (esABB?(I)) and (esABB?(D)) .

Recorridos

Se puede hacer un recorrido de un árbol en profundidad o en anchura.

Los recorridos en anchura son por niveles, se realiza horizontalmente desde la raíz a todos los hijos antes de pasar a la descendencia de alguno de los hijos.

El recorrido en profundidad lleva al camino desde la raíz hacia el descendiente más lejano del primer hijo y luego continúa con el siguiente hijo. Como recorridos en profundidad tenemos inorden, preorden y postorden.

Una propiedad de los ABB es que al hacer un recorrido en profundidad inorden obtenemos los elementos ordenados de forma ascendente.

Ejemplo árbol binario de búsqueda

Resultado de hacer el recorrido en:

Inorden = [6, 9, 13, 14, 15, 17, 20, 26, 64, 72].

Preorden = [15, 9, 6, 14, 13, 20, 17, 64, 26, 72].

Postorden =[6, 13, 14, 9, 17, 26, 72, 64, 20, 15].

Recorridos en Visual Basic .Net

'funcion de recorrido en PREORDEN
   Public Function preorden() As String
       cadenasalida = ""
       rePreorden(raiz)
       Return cadenasalida
   End Function
   Private Sub rePreorden(ByVal padre As Nodo)
       If IsNothing(padre) Then
           Return
       End If
       cadenasalida = cadenasalida & "-" & padre.dato
       rePreorden(padre.ant)
       rePreorden(padre.sig)
   End Sub

   'funcion de recorrido en POSTORDEN
   Public Function postorden() As String
       cadenasalida = ""
       reposorden(raiz)
       Return cadenasalida
   End Function
   Private Sub repostorden(ByVal padre As Nodo)
       If IsNothing(padre) Then
           Return
       End If
       repostorden(padre.ant)
       repostorden(padre.sig)
       cadenasalida = cadenasalida & "-" & padre.dato
   End Sub

   'funcion de recorrido en INORDEN
   Public Function inorden() As String
       cadenasalida = ""
       reinorden(raiz)
       Return cadenasalida
   End Function
   Private Sub reinorden(ByVal padre As Nodo)
       If IsNothing(padre) Then
           Return
       End If
       reinorden(padre.ant)
       cadenasalida = cadenasalida & "-" & padre.dato
       reinorden(padre.sig)
   End Sub

Tipos de árboles binarios de búsqueda

Hay varios tipos de árboles binarios de búsqueda. Los árboles AVL, árbol rojo-negro, son árboles autobalanceables . Los árbol biselado son árboles también autobalanceables con la propiedad de que los elementos accedidos recientemente se accederá más rápido en posteriores accesos. En el montículo como en todos los árboles binarios de búsqueda cada nodo padre tiene un valor mayor q sus hijos y además es completo, esto es cuando todos los niveles están llenos con excepción del último que puede no estarlo.

Hay muchos tipos de árboles binarios de búsqueda. Los árboles AVL y los árbol rojo-negro son ambos formas de árboles binarios de búsqueda autobalanceables. Un árbol biselado es un árbol binario de búsqueda que automáticamente mueve los elementos a los que se accede frecuentemente cerca de la raíz. En los montículos, cada nodo también mantiene una prioridad y un nodo padre tiene mayor prioridad que su hijo.

Otras dos maneras de configurar un árbol binario de búsqueda podría ser como un árbol completo o degenerado.

Un árbol completo es un árbol con "n" niveles, donde cada nivel d <= n-1; el número de nodos existentes en el nivel "d" es igual que 2^d. Esto significa que todos los posibles nodos existen en esos niveles, no hay ningún hueco. Un requirimiento adicional para un árbol binario completo es que para el nivel "n", los nodos deben estar ocupados de izquierda a derecha, no pudiendo haber un hueco a la izquierda de un nodo ocupado.

Un árbol degenerativo es un árbol que, para cada nodo padre, sólo hay asociado un nodo hijo. Por lo que se comporta como una lista enlazada.

Comparación de rendimiento

D. A. Heger(2004)^[1] realiza una comparación entre los diferentes tipos de árboles binarios de búsqueda para encontrar que tipo nos daría el mejor rendimiento para cada caso. Los montículos se encuentran como el tipo de árbol binario de búsqueda que mejor resultado promedio da, mientras que los árboles rojo-negro los que menor rendimiento medio nos aporta.

Buscando el Árbol binario de búsqueda óptimo

Si nosotros no tenemos en mente planificar un árbol binario de búsqueda, y sabemos exactamente como de frecuente serán visitados cada elemento podemos construir un árbol binario de búsqueda óptimo con lo que conseguiremos que la media de gasto generado a la hora de buscar un elemento sea minimizado.

Asumiendo que conocemos los elementos y en qué nivel está cada uno, también conocemos la proporción de futuras búsquedas que se harán para encontrar dicho elemento. Si es así, podemos usar una solución basada en la programación dinámica.

En cambio, a veces sólo tenemos la estimación de los costes de búsqueda, como pasa con los sistemas que nos muestra el tiempo que ha necesitado para realizar una búsqueda. Un ejemplo, si tenemos un ABB de palabras usado en un corrector ortográfico, deberíamos balancear el árbol basado en la frecuencia que tiene una palabra en el Corpus lingüístico, desplazando palabras como "de" cerca de la raíz y palabras como "vesánico" cerca de las hojas. Un árbol como tal podría ser comparado con los árboles Huffman que tratan de encontrar elementos que son accedidos frecuentemente cerca de la raíz para producir una densa información; de todas maneras, los árboles Huffman sólo puede guardar elementos que contienen datos en las hojas y estos elementos no necesitan ser ordenados.

En cambio, si no sabemos la secuencia en la que los elementos del árbol van a ser accedidos, podemos usar árboles biselados que son tan buenos como cualquier árbol de búsqueda que podemos construir para cualquier secuencia en particular de operaciones de búsqueda.

Árboles alfabéticos son árboles Huffman con una restricción de orden adicional, o lo que es lo mismo, árboles de búsqueda con modificación tal que todos los elementos son almacenados en las hojas.

Véase también

• Árbol (programación)
• Árbol Binario
• Árbol AVL
• Árbol 2-3
• Árbol B
• Árbol Rojo-Negro
• Árbol Splay
• Árbol Multirrama

Referencias

1. ↑ Heger, Dominique A. (2004), «A Disquisition on The Performance Behavior of Binary Search Tree Data Structures», European Journal for the Informatics Professional 5 (5), http://www.upgrade-cepis.org/issues/2004/5/up5-5Mosaic.pdf 

Enlaces externos

• Árboles binarios de búsqueda en google
• Implementación de árboles binarios de búsqueda en distintos lenguajes
• Aplicación JAVA de árboles