Relación reflexiva


Relación reflexiva

Relación reflexiva

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es reflexiva o refleja si todo elemento de A no está relacionado consigo mismo mediante R.

Es decir,

\forall x\in A, \; xRx

En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad.

La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).

Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es antirreflexiva, antirrefleja o irreflexiva, lo que denotamos formalmente por:

\forall x\in A, \; \neg(xRx)

En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.

Representación

Sea R una relación reflexiva o antirreflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Notación Relación reflexiva Relación antirreflexiva
Como pares ordenados \forall x\in A, \; (x, x)\in R \forall x\in A, \; (x, x)\notin R
Como matriz de adyacencia La diagonal principal de la matriz contendrá sólo 1's, es decir, \forall i=\{1, ..., n\}, \; (a_{i,i})_{n\times n}=1. La diagonal principal de la matriz contendrá sólo 0's, es decir, \forall i=\{1, ..., n\}, \; (a_{i,i})_{n\times n}=0.
Como grafo El grafo contendrá bucles en todos sus nodos. El grafo no contendrá bucles en ninguno de sus nodos.

Ejemplos

Sea A un conjunto cualquiera:

  • Sea (A, \cup), \cup es reflexiva, porque todo conjunto esta contenido en sí mismo.
  • Sea (A, \ge), \ge ("mayor o igual que") es reflexiva, pero >\, ("mayor estricto que") no lo es.
  • Sea (A, \le), \le ("menor o igual que") es reflexiva, pero <\, ("menor estricto que") no lo es.
  • Sea (A, =)\,, =\, (la igualdad matemática), es reflexiva.
  • Sea (A, \subseteq), \subseteq (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
  • Sea (\mathbb{N}\backslash\{0\}, \backslash), \backslash\, (la divisibilidad) es reflexiva.
  • Sea X el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de paralelismo || entre rectas es reflexiva, porque toda recta es paralela a sí misma.
  • Sea X el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de perpendicularidad \bot entre dos rectas es antirreflexiva, porque no hay rectas que sean perpendiculares a sí mismas.
  • Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de sí mismo.
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