Segundo axioma de numerabilidad


Segundo axioma de numerabilidad

Se dice que un espacio topológico verifica el segundo axioma de numerabilidad (o que es segundo numerable, o segundo contable) si su topología tiene una base numerable. En forma abreviada, suele decirse también que el espacio es IIAN o ANII.

El ser ANII es una propiedad global que limita el número de abiertos de la topología. De hecho, se demuestra que que si (X.T) es ANII, entonces el cardinal de T es menor o igual que el cardinal del continuo.

Ser ANII es una propiedad hereditaria: todo subespacio de un espacio ANII también lo es. El producto numerable de espacios ANII es a su vez ANII.

Ejemplos

  • El espacio euclídeo Rn con su topología usual es ANII. Aunque la base formada por las bolas abiertas no es numerable, podemos encontrar una base que sí lo es: la formada por las bolas de radio racional y cuyo centro tenga coordenadas racionales.
  • La táctica anterior puede repetirse en un espacio métrico separable (i.e. que contenga un subconjunto denso numerable A). Como base basta escoger de nuevo las bolas de radio racional centradas en A.

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