Espacio separable


Espacio separable

En topología, un espacio topológico es un espacio separable si incluye un subconjunto denso numerable.

Un espacio de Hilbert es separable si y solamente si admite una base ortonormal numerable.

Contenido

Espacios de Hilbert separables

Sea (H,<,>) un espacio de Hilbert separable. Si {ek}kB es una base ortonormal numerable de H, entonces cada elemento x de H se puede escribir como

x = \sum_{k \in B} \langle e_k , x \rangle e_k

Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x.

Ejemplos de espacios de Hilbert son \mathbb K^n\, con \mathbb K=\mathbb R ó \mathbb K=\mathbb C, el espacio de las sucesiones complejas cuadrado-sumables \ell^2(\mathbb K) y el espacio de las funciones cuadrado-integrables en el sentido de Lebesgue L^2(\mathbb R^n). Una gran variedad de espacios de Hilbert que se presentan en la práctica son separables y son en particular los espacios \mathbb K^n y \ell^2(\mathbb K) los prototipos principales de espacios de Hilbert, pues todo espacio de Hilbert separable de dimensión finita n\, es isomorfo a \mathbb K^n mientras que todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo a \ell^2(\mathbb K).

Ejemplos

Espacios separables

  • El conjunto de los números reales R con la topología usual es separable por ser el conjunto de los números racionales Q un subconjunto denso numerable. En general, el espacio euclídeo Rn es separable por ser Qn denso y numerable pues es el producto de conjuntos numerables.
  • Igualmente el conjunto de los números complejos C es separable siendo en general, el espacio euclídeo Cn también separable.

Espacios de Hilbert no-separables

  • El conjunto de todas las funciones reales f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, que sólo son diferentes de cero en un conjunto finito o contable de puntos Sf tales que:

\sum_{x\in S_f} |f(x)|^2 < \infty

Constituye un espacio de Hilbert no separable, dotado del producto escalar entre dos funciones f y g:

\langle f, g\rangle = \sum_{S_f \cap S_g} \overline{f(x)}g(x)

Necesariamente estas funciones de este espacio de Hibert no son continuas, ya que los espacios normados de funciones reales continuas definidas en \mathbb{R}^n son siempre separables.


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