Conjunto denso

Sea $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico, $A \subset X$ se dice que es un conjunto denso en $X\;$ si y solamente si $\bar A = X \;$, es decir, la clausura del conjunto es todo el espacio.

Se cumple que las siguientes proposiciones para A son todas equivalentes:

1. A es denso en X
2. $A \subset B, B$ cerrado $\Rightarrow B=X$
3. $\forall V \in \mathcal{T}, A\cap V = \varnothing \Rightarrow V=\varnothing$

Ejemplos

• Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
• $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$ son subconjuntos densos de $\mathbb{R}$.
• Los polinomios son densos en el conjunto C[a,b] de las funciones continuas definidas en [a,b], dotado de la topología asociada a la distancia $d_\infty (f,g) = \max _{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|$.

Espacio separable

Si $(X,\mathcal{T})$ contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son $\mathbb{R}^n$ y $C([0,1],\mathbb{R})$ (el espacio de las funciones continuas que van de [0,1] a $\mathbb{R}$).

Véase también

• Conjunto denso en ninguna parte
• Espacio separable