Tensor tensión de Piola-Kirchhoff

Tensor tensión de Piola-Kirchhoff

Los tensores de tensión de Piola-Kirchhoff son tensores usados en la teoría de la elasticidad con deformaciones finitas para representar la tensión con respecto a la configuración inicial no deformada. Esto contrasta con el tensor de tensiones de Cauchy usualmente usado para representar las tensiones para la configuración deformada.

En la teoría lineal de la elasticidad debido a que la configuración deformada y la configuración no deformada son prácticamente iguales, se puede usar el tensor de tensiomes de Cauchy para representar las tensiones en la configuración inicial no deformada con muy buena aproximación. Sin embargo, con grandes deformaciones esto no resulta adecuado, y en general se requiere el uso de los tensores de Piola-Kirchhoff. Existen dos tipos de tensores de Piola-Kirchoff:

  • Primer tensor de Piola-Kirchoff, que es un tensor mixto que relaciona la configuración inicial no deformada con las tensiones en la configuración deformada.
  • Segundo tensor de Piola-Kirchoff, es un tensor simétrico que permite plantear el problema elástico sobre la configuración inicial.

Estos tensores toman su nombre de Gabrio Piola y Gustav Kirchhoff.

1er tensor tensión de Piola-Kirchhoff

Mientras que el tensor de tensiones de Cauchy TC = (σij) relaciona las fuerzas en la configuración final deformada con las áreas de la configuración final deformada, el primer tensor de Piola-Kirchhoff TR = (KIj) relaciona las fuerzas en la configuración final deformada con las áreas en la configuración inicial no deformada (configuración material). Las componentes de este tensor se relacionan con las del tensor de Cauchy mediante:

T_R(\mathbf{X}) = \det(\nabla F)\ T_C(\mathbf{x}) \nabla F^{-T}

Donde \nabla F\; es el gradiente de deformación, que relaciona la configuración inicial no deformada y la configuración final deformada. Más sencillamente en componentes y usando en convenio de sumación de Einstein, la relación anterior puede escribirse como:

K_{Ij} = \left| \frac{\part(x^1,x^2,x^3)}{\part(X^1,X^2,X^3)}\right|
\frac{\part x^i}{\part X^I} \sigma_{ij} =
\det(\nabla F)\ \frac{\part x^i}{\part X^I} \sigma_{ij}

Puesto que este tensor relaciona magnitudes de diferentes sistemas coordenados es un tensor de "dos puntos" o tensor mixto. En general, este tensor no será simétrico. En una rotación rígida las componentes de este tensor en general no se mantendrán constantes. Este tensor es el "momento conjugado" del gradiente de deformación.

2o tensor tensión de Piola-Kirchhoff

Mientras que el primer tensor de Piola-Kirchhoff TR relaciona fuerzas en la configuración final deformada con áreas en la configuración inicial no deformada, el segundo tensor de Piola-Kirchhoff ΣR = (SIJ) relaciona fuerzas y áreas sobre la configuración inicial no deformada, y por tanto constituye un tensor ordinario (no mixto). Las fuerzas sobre la configuración inicial de referencia se obtienen proyectando las fuerzas sobre la configuración deformada, a través de isomorfismo que relaciona ambas geometrías. La relación entre el segundo tensor de Piola-Kirchhoff y el tensor tensión de Cauchy viene dado por:

 \Sigma_R(\mathbf{X}) = \det(\nabla F)\ [\nabla F^{-1}]\ T_C(\mathbf{x}) [\nabla F^{-T}]

Por definición además este tensor, al igual que el tensor tensión de Cauchy, es simétrico. La relación anterior expresada en componentes es simplemente:

S_{IJ}= \left| \frac{\part(x^1,x^2,x^3)}{\part(X^1,X^2,X^3)}\right|
\frac{\part x^i}{\part X^I} \frac{\part x^j}{\part X^J} \sigma_{ij} =
\det(\nabla F)\ \frac{\part x^i}{\part X^I} \frac{\part x^j}{\part X^J} \sigma_{ij}

Si el material rota mediante una "rotación rígida" sin cambio de forma y por tanto sin cambio en las tensiones, entonces las componentes del segundo tensor de Piola-Kirchhoff permanencen constantes durante dicha rotación.

Este segundo tensor de Piola-Kirchhoff es el "momento conjugado" respecto a la energía total del tensor deformación de Green-Lagrange.

Referencia

  • Introduction to the mechanics of a continuum medium, L. E. Malvern, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1969.
  • Philippe G. Ciarlet: Mathematical Elasticity, Elsevier Science Publishers, Ámsterdam, 1988. ISBN 0-444-81776-X.

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Mira otros diccionarios:

  • Tensor tensión — Componentes del tensor tensión en un punto P de un sólido deformable. En mecánica de medios continuos, el tensor tensión o tensor de tensiones es el tensor que da cuenta de la distribución de tensiones y esfuerzos internos en el medio continuo.… …   Wikipedia Español

  • Piola — Saltar a navegación, búsqueda El término piola puede hacer referencia a: Cuerda gruesa y larga.[1] Silvio Piola, futbolista italiano Gabrio Piola, físico italiano Tensor tensión de Piola Kirchhoff Piola Vago, banda de cumbia villera de Argentina… …   Wikipedia Español

  • Gabrio Piola — Monumento a Gabrio Piola en Milán. Gabrio Piola (1794–1850) fue un físico italiano. El tensor tensión de Piola Kirchhoff toma de él su nombre. En …   Wikipedia Español

  • Problema elástico — Saltar a navegación, búsqueda El problema elástico es el problema físico matemático de encontrar los desplazamientos y las tensiones en un sólido deformable elástico, partiendo de la forma original del sólido, de las fuerzas actuantes sobre el… …   Wikipedia Español

  • Stress (mechanics) — Continuum mechanics …   Wikipedia

  • Stress (physics) — Stress is a measure of the average amount of force exerted per unit area. It is a measure of the intensity of the total internal forces acting within a body across imaginary internal surfaces, as a reaction to external applied forces and body… …   Wikipedia

  • solids, mechanics of — ▪ physics Introduction       science concerned with the stressing (stress), deformation (deformation and flow), and failure of solid materials and structures.       What, then, is a solid? Any material, fluid or solid, can support normal forces.… …   Universalium

  • Elasticidad (mecánica de sólidos) — Una varilla elástica vibrando, es un ejemplo de sistema donde la energía potencial elástica se transforma en energía cinética y viceversa. En física e ingeniería, el término elasticidad designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de… …   Wikipedia Español

  • Material hiperelástico — Un material hiperelástico o material elástico de Green[1] es un tipo de material elástico para el cual la ecuación constitutiva que relaciona tensiones y deformaciones puede obtenerse a partir de una potencial elástico o energía elástica de… …   Wikipedia Español

  • Continuum mechanics — Continuum mechanics …   Wikipedia

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”