Teorema de Weierstrass

Teorema de Weierstrass

El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.

Contenido

Enunciado

Si una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado) [a,b] entonces hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir f(x_1) \le f(x) \le f(x_2), para cualquier x\in [a,b]

Demostración

Como f([a,b]) está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural. Cómo M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto dn en [a,b] tal que M – 1/n < f(dn). Ésto genera una sucesión {dn} según vamos dando valores naturales a n. Cómo M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < f(dn) ≤ M para todo n natural. Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que {f(dn)} converge a M.

Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremo es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto éste supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que existe una subsucesión {d_{n_k}}, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Cómo f es contínua en el conjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f(d_{n_k})} converge a f(d). Pero {f(dnk)} es una subsucesión de {f(dn)} que converge a M, entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, f asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo. 

La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a ésta.∎

Generalización del Teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstrass también es válido para funciones escalares o vectoriales de varias variables. La imagen por un campo continuo de un conjunto compacto es un conjunto compacto, siendo este un escalar vectorial compacto.

Si f:C -> Rq es una función continua en C ( C es compacto de Rp) entonces D = f(C) es un conjunto compacto de Rq

Corolario

El conjunto imagen de la función f está acotado, es decir:

Imf = f([a,b]) = [f(x1),f(x2)]
donde m=f(x1) simboliza el valor mínimo absoluto y M=f(x2) el valor máximo absoluto.

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Mira otros diccionarios:

  • Teorema de Weierstrass — Las funciones continuas en un intervalo cerrado gozan de una propiedad interesante, recogida en el siguiente teorema: Hipótesis: La función f es continua en un intervalo cerrado entonces Tesis: Hay al menos un punto c perteneciente a [a,b] donde… …   Enciclopedia Universal

  • Teorema de Weierstrass-Casorati — En análisis complejo, una rama de las matemáticas el teorema de Casorati–Weierstrass describe el comportamiento de funciones meromorfas cerca de una singularidad esencial. Recibe su nombre de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y Felice Casorati.… …   Wikipedia Español

  • Teorema de factorización de Weierstrass — En matemática, concretamente en análisis complejo, el teorema de factorización de Weierstrass, llamado así en honor a Karl Weierstrass, asegura que las funciones enteras pueden ser representadas mediante un producto que envuelve sus ceros. Además …   Wikipedia Español

  • Teorema de Bolzano-Weierstrass — Para el teorema de análisis real, véase Teorema de Weierstrass. En el análisis real, el teorema Bolzano–Weierstrass es un importante teorema que caracteriza los conjuntos secuencialmente compactos. Contenido 1 Enunciado 2 Demostración …   Wikipedia Español

  • Teorema del valor intermedio — Para el teorema de cálculo diferencial, véase Teorema del valor medio. Teorema de los valores intermedios. En análisis real el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Lindemann–Weierstrass — El teorema de Lindemann–Weierstrass es un resultado muy útil para establecer la trascendencia de un número. Afirma que si α1, α2, ...,αn son números algebraicos linealmente independientes sobre el cuerpo de los números racionales , entonces son… …   Wikipedia Español

  • Teorema de aproximación de Weierstrass — En análisis matemático, el teorema de aproximación de Weierstrass es un resultado que afirma que las funciones reales continuas definidas en un intervalo cerrado y acotado pueden ser aproximadas tanto como se quiera por un polinomio. Es decir,… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Gelfond-Schneider — En matemática, el teorema de Gelfond Schneider es un resultado que establece la trascendencia de una gran clase de números. Fue probado originalmente por Alexander Gelfond en 1934 y de nuevo de forma independiente por Theodor Schneider, en 1935.… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Tychonoff — En topología, el teorema de Tychonoff establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. El teorema se nombró así por Andrey Nikolayevich Tychonoff, quien lo probó por primera vez en 1930 para… …   Wikipedia Español

  • Teorema fundamental del álgebra — El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces[1] como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”