Cofinalidad

En teoría de conjuntos y teoría del orden, un subconjunto A de un conjunto ordenado X es cofinal en X si no tiene cota superior en X.

En teoría de conjuntos se utiliza este concepto para definir la noción de cofinalidad, que permite clasificar los distintos cardinales infinitos.

Cofinalidad de ordinales

La definición de conjunto cofinal es:

Sea X un conjunto ordenado. A ⊆ X es cofinal en X si para cada x ∈ X existe un a ∈ A mayor o igual a x.

Por otro lado, la noción de "cofinal" referida a ordinales es:

Se dice que un ordinal α es cofinal en otro ordinal β si existe una función monótona f : α → β cuyo rango es cofinal en β.

De este modo, α es cofinal en β si puede "escalarse" el ordinal β en α "saltos" arbitrariamente grandes, superando cualquier ordinal menor que β. Se define entonces la cofinalidad de un ordinal como:

La cofinalidad de un ordinal α es el menor ordinal cf(α) que es cofinal en α.

Es decir, cf(α) es el número mínimo de "saltos" necesarios para "escalar" α.

La cofinalidad de un ordinal sólo tiene interés para ordinales límite, ya que dado cualquier ordinal sucesor α = β+1 = {0, 1, ..., β} se tiene que cf(α) = 1. En efecto, el rango de la función f : 1 → α dada por f(0) = β es cofinal en α.

Puede demostrarse que se requieren infinitos "saltos" para escalar un ordinal límite, y que no cualquier ordinal puede ser la cofinalidad de otro:

Dado un ordinal límite λ, ω ≤ cf(λ) ≤ λ. La cofinalidad de un ordinal es siempre un cardinal de Von Neumann: para todo α, cf(α) ∈ K. En particular, si card(λ) = κ, entonces cf(λ) ≤ κ. La confinalidad es idempotente: cf(cf(α))=cf(α)

Ejemplos. (Se puede utilizar la notación de números alef para hablar de cofinalidades, identificando ℵ_α con el correspondiente ordinal ω_α.)

• Ningún número natural n es cofinal en ω, porque el rango de cualquier función f : n → ω tiene un máximo, f(n-1), y por tanto una cota superior estricta, f(n-1) + 1.
  Así, cf(ω) = ω.
• Si asumimos el axioma de elección (o incluso una versión más débil), la cofinalidad del primer ordinal no numerable ω₁ no es ningún ordinal numerable δ . Esto es debido a que entonces, la unión numerable de conjuntos numerables es a su vez numerable, y ninguna función f : δ → ω₁ es cofinal: la unión de los ordinales en su imagen, todos ellos numerables por la definición de ω₁, es un ordinal numerable α, y α + 1 es menor que ω₁ y una cota estricta para el rango de f. Por tanto, ha de ser cf(ω₁) = ω₁.
• El cardinal ℵ_ω es la unión numerable de los cardinales ℵ_n. Puesto que esa serie numerable no tiene cota en ℵ_ω, se tiene que cf(ℵ_ω) = ω.

Referencias

• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf, consultado el 22-04-2011 .
• Roitman, Judith (1990) (en inglés). Introduction to Modern Set Theory. Wiley. ISBN 0-471-63519-7.