Axioma de elección

Axioma de elección

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En matemáticas, el axioma de elección o axioma de escogencia, abreviado usualmente AE, o AC por sus siglas en inglés, es un axioma de la teoría de conjuntos. Intuitivamente, AE dice que dada una colección de conjuntos, cada uno con al menos un objeto, se puede tomar exactamente un objeto de cada conjunto y ponerlos en un nuevo conjunto, aun si hay una cantidad infinita de conjuntos, y no hay una regla que indique qué objetos tomar. El axioma no resulta necesario cuando existe tal regla ni cuando el número de conjuntos es finito.

Fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo.^[1] Aunque originalmente fue controvertido, hoy en día es usado sin reservas por la mayoría de los matemáticos. Hay aún, sin embargo, especialmente en la teoría de conjuntos, corrientes de opinión que rechazan el axioma o que investigan consecuencias de otros axiomas inconsistentes con AE.

Enunciado formal

El axioma de elección, en su versión tradicional, dice así:

Sea X un conjunto de conjuntos no vacíos. Entonces se puede tomar un solo elemento de cada conjunto de X.

Una función de elección es una función f, definida en un conjunto X de conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, tal que para todo conjunto S ∈ X, f(S) ∈ S. El AE se puede enunciar entonces así:

Para todo conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección definida en X.

O bien:

Un producto cartesiano arbitrario de conjuntos no vacíos tampoco es vacío.

O de forma más compacta:

Todo conjunto de conjuntos no vacíos tiene función de elección.

Esto permite, por supuesto, formular de manera concisa su negación:

Existe un conjunto de conjuntos no vacíos sin función de elección.

Variantes

Una segunda versión del axioma de elección dice así:

Dado cualquier conjunto de conjuntos no vacíos, disjuntos dos a dos, existe al menos un conjunto que tiene exactamente un elemento en común con cada uno de los conjuntos no vacíos.

Algunos autores usan una tercera versión que prácticamente dice:

Para todo conjunto A, el conjunto potencia de A (menos el vacío) tiene una función de elección.

Los autores que usan esta versión frecuentemente se refieren a la función como función de elección de A, aunque esto difiera de la definición tradicional de función de elección: su dominio es el conjunto de partes de A menos el vacío, con lo que puede existir para cualquier conjunto A; mientras que con la otra definición, el dominio de una función de elección en una "colección de conjuntos" es justamente esa colección, con lo que sólo puede existir en conjuntos de conjuntos.
Con la definición no tradicional de la función de elección, AE puede enunciarse así:

Todo conjunto tiene función de elección.^[2]

O, de manera equivalente,

Para todo conjunto A hay una función f tal que para todo B ⊆ A no vacío, f(B) ∈ B.

Y su negación sería entonces:

Hay un conjunto A tal que para toda función f definida en el conjunto potencia de A menos el vacío, hay un B ⊆ A no vacío tal que f(B) ∉ B.

Uso

Hasta finales del siglo XIX, el axioma de elección se usaba casi siempre implícitamente. Por ejemplo, después de demostrar que el conjunto X contenía sólo conjuntos no vacíos, un matemático habría dicho "sea F(S) un elemento de S para todo S en X". Es en general imposible demostrar que F existe sin el axioma de elección, pero esto no fue notado antes de Zermelo.

No siempre se requiere el axioma de elección. Si X es finito, el "axioma" necesario se deduce de los otros axiomas de la teoría de conjuntos. En tal caso es equivalente a decir que si se tiene un número finito de cajas, cada una con al menos un objeto, se puede escoger exactamente un objeto de cada caja. Esto es evidente: se comienza en la primera caja, se escoge un objeto; se va a la segunda, se escoge un objeto; y así sucesivamente. Como sólo hay finitas cajas, este procedimiento de elección se concluirá finalmente. El resultado es una función de elección explícita: una que a la primera caja le asigna el primer objeto elegido, a la segunda el segundo, etcétera. Una prueba formal para todo conjunto finito requeriría el principio de inducción matemática.

Para ciertos conjuntos infinitos X también es posible evitar el axioma de elección. Por ejemplo, si los elementos de X son conjuntos de naturales, puede definirse la función de elección sencillamente como tomar el mínimo de cada conjunto (lo que es siempre posible con los naturales). En cualquier caso en que sea posible como en este especificar una función de elección explícitamente, AE es innecesario.

La dificultad aparece cuando no hay una escogencia natural de elementos de cada conjunto. Si no se pueden hacer elecciones explícitas, ¿cómo saber que existe el conjunto deseado? Por ejemplo, supóngase que X es el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los reales. Primero se podría intentar proceder como si X fuera finito; pero si se intenta escoger un elemento de cada conjunto, como X es infinito, el procedimiento de elección no terminará nunca y nunca se podrá producir una función de elección para X. Luego se puede intentar el truco de tomar el elemento mínimo de cada conjunto; pero algunos subconjuntos de los reales, como el intervalo abierto (0,1), no tienen mínimo, así que esta táctica no funciona tampoco.

La razón por la que se podían escoger elementos mínimos de los subconjuntos de los naturales es que éstos vienen ya bien ordenados: todo subconjunto de los naturales tiene un único elemento mínimo respecto al orden natural. Tal vez a este punto uno se sienta tentado a pensar: "aunque el orden usual de los números reales no funciona, debe ser posible encontrar un orden diferente que sea, este sí, un buen orden; entonces la función de elección puede ser tomar el elemento mínimo de cada conjunto respecto al nuevo orden". El problema entonces se "reduce" al de encontrar un buen orden en los reales, lo que requiere del axioma de elección para su realización: todo conjunto puede ser bienordenado si y sólo si vale el axioma de elección.

Una demostración que haga uso de AE nunca es constructiva: aun si dicha demostración produce un objeto, será imposible determinar exactamente qué objeto es. En consecuencia, aunque el axioma de elección implica que hay un buen orden en los reales, no da un ejemplo. Sin embargo, la razón por la que se querían bienordenar los reales era que para cada conjunto de X se pudiera escoger explícitamente un elemento; pero si no se puede determinar el buen orden usado, tal escogencia no es tampoco explícita. Esta es una de las razones por las que a algunos matemáticos les desagrada el axioma de elección; los constructivistas, por ejemplo, afirman que todas las pruebas de existencia deberían ser completamente explícitas, pues si existe algo, debe ser posible hallarlo; rechazan así el axioma de elección, pues afirma la existencia de un objeto sin decir qué es. Por otro lado, el solo hecho de que se haya usado AE para demostrar la existencia de un conjunto no significa que no pueda ser construido por otros métodos.

Independencia

Del trabajo de Kurt Gödel y Paul Cohen se deduce que el axioma de elección es lógicamente independiente de los otros axiomas de la ZF. Esto significa que ni AE ni su negación pueden demostrarse ciertos dentro de ZF. En consecuencia, asumir AE o su negación nunca llevará a una contradicción que no se pudiera obtener sin tal supuesto.

La decisión, entonces, de si es o no apropiado hacer uso de él en una demostración no se puede tomar basándose sólo en otros axiomas de la teoría de conjuntos; hay que buscar otras razones. Un argumento dado a favor de usar el axioma de elección es simplemente que es conveniente: usarlo no puede hacer daño (resultar en contradicciones) y hace posible demostrar algunas proposiciones que de otro modo no se podrían probar.

El axioma de elección no es la única afirmación significativa e independiente de ZF; la hipótesis del continuo generalizada (HCG), por ejemplo, no sólo es independiente de ZF, además lo es de ZF con el axioma de elección (ZFE, o ZFC en inglés). Sin embargo, ZF más HCG necesariamente implica AE, con lo cual HCG es estrictamente más fuerte que AE, aunque ambos sean independientes de ZF.

Una razón por la que a los matemáticos no les agrada el axioma es que tiene por consecuencia la existencia de algunos objetos contraintuitivos. Un ejemplo de ello es la paradoja de Banach-Tarski, que dice básicamente que es posible cortar una bola tridimensional en finitas partes, y usando sólo rotación y translación, reensamblarlas en dos bolas del mismo volumen que la original. La prueba, como todas las pruebas que involucran el axioma de elección, es sólo de existencia: no dice cómo se debe cortar la esfera, sólo dice que se puede hacer.

Por otro lado, la negación de AE es también extraña. Por ejemplo, la afirmación de que dados dos conjuntos cualesquiera S y T, la cardinalidad de S es menor, igual, o mayor que la de T es equivalente al axioma de elección; en otras palabras, si se asume la negación de éste, hay dos conjuntos S y T de tamaño incomparable: ninguno se puede inyectar en el otro.

Una tercera posibilidad es probar teoremas sin usar ni el axioma ni su negación, la táctica preferida en matemáticas constructivas. Tales afirmaciones serán ciertas en cualquier modelo de ZF, independientemente de la certeza o falsedad del axioma de elección en dicho modelo. Esto hace que cualquier proposición que requiera AE o su negación sea indecidible: la paradoja de Banach-Tarski, por ejemplo, no se puede demostrar como cierta (pues no se puede descomponer la esfera del modo indicado) ni como falsa (pues no se puede demostrar que tal descomposición no exista); ésta, sin embargo, se puede reformular como una afirmación sobre los modelos de ZF: "en todo modelo de ZF en el que valga AE, vale también la paradoja de Banach-Tarski". Asimismo, todas las afirmaciones listadas abajo que requieren elección o alguna versión más débil son indecidibles en ZF; pero por ser demostrables en ZFE, hay modelos de ZF en los que son ciertas.

Axiomas más fuertes

El axioma de constructibilidad, igual que la hipótesis del continuo generalizada, implica el axioma de elección, pero es estrictamente más fuerte.

En teorías de clases, tales como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel o la de Morse-Kelley, hay un posible axioma llamado axioma de elección global, que es más fuerte que el axioma de elección para conjuntos pues aplica también a clases propias.

Equivalentes

Hay un gran número de proposiciones importantes que, asumiendo los axiomas de ZF sin AE ni ¬AE, son equivalentes al axioma de elección. Las más importantes son sin duda el lema de Zorn y el teorema del buen orden. De hecho, Zermelo inicialmente introdujo AE para poder formalizar su prueba del teorema del buen orden.

• Teoría de conjuntos:
  • Teorema del buen Orden: todo conjunto puede ser bienordenado; en consecuencia, todo cardinal tiene un ordinal inicial.
  • Si un conjunto A es infinito, entonces A tiene la misma cardinalidad que A×A.
  • Tricotomía: dados dos conjuntos, éstos tienen la misma cardinalidad, o bien uno tiene una cardinalidad menor que el otro.
  • El producto cartesiano de cualquier familia no vacía de conjuntos no vacíos tampoco es vacío.
  • Teorema de König: la suma de una secuencia de cardinales es estrictamente menor que el producto de una secuencia de cardinales mayores (aunque, estrictamente, ni la suma ni el producto de una "secuencia" de cardinales se puede definir sin el axioma de elección).
  • Toda función sobreyectiva tiene una inversa por derecha.
• Teoría del orden:
  • Lema de Zorn: Todo conjunto no vacío parcialmente ordenado en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene cota superior, tiene al menos un elemento maximal.
  • Principio maximal de Hausdorff: En un conjunto parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado está contenido en uno maximal.
    • Principio restringido: En un conjunto parcialmente ordenado existe un subconjunto maximal totalmente ordenado.
• Álgebra:
  • Todo espacio vectorial tiene una base.
  • Todo anillo unitario distinto del trivial contiene un ideal maximal.
• Topología:
  • Teorema de Tychonoff: todo producto de espacios compactos es compacto.
  • En la topología producto, la clausura de un producto de subconjuntos es igual al producto de sus respectivas clausuras.
  • Todo producto de espacios uniformes completos es asimismo completo.

Formas más débiles

Hay varias proposiciones más débiles que, aunque no equivalentes al axioma de elección, están fuertemente relacionadas. Un ejemplo es el axioma de elección numerable, que dice que toda colección numerable de conjuntos no vacíos tiene función de elección. Esto normalmente basta para probar afirmaciones sobre los reales, por ejemplo, pues los números racionales, que son numerables, forman un subconjunto denso de los reales.

Resultados que requieren AE pero son más débiles

Uno de los aspectos más interesantes del axioma de elección es el gran número de lugares en la matemática en los que aparece. He aquí algunas afirmaciones que requieren el axioma de elección en el sentido de que no son demostrables en ZF pero sí en ZFE. De forma equivalente, éstas son ciertas en todos los modelos de ZFE y falsas en algunos modelos de ZF.

• Teoría de conjuntos
  • Toda unión de numerables conjuntos numerables es asimismo numerable.
  • Si el conjunto A es infinito, existe una función inyectiva del conjunto de los naturales N a A.
• Teoría de la medida
  • Existen subconjuntos de los reales que no tienen medida de Lebesgue (el conjunto de Vitali).
  • La paradoja de Hausdorff.
  • La paradoja de Banach-Tarski.
• Álgebra
  • Todo campo tiene clausura algebraica.
  • Todo subgrupo de un grupo libre es también libre (teorema de Nielsen-Schreier).
  • Los grupos aditivos R y C son isomorfos.^[3]
• Análisis funcional
  • El teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, que permite la extensión de funcionales lineales.
  • Todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal.
  • El teorema de la categoría de Baire sobre espacios métricos completos, y sus consecuencias.
  • En todo espacio vectorial topológico de dimensión infinita hay una función lineal discontinua.
• Topología
  • Un espacio uniforme es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.
  • Todo espacio de Tychonoff tiene una compactificación de Stone-Čech.

Formas más fuertes de AE

Ahora, se considerarán formas más fuertes de la negación de AE. Por ejemplo, la afirmación de que todo conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire es más fuerte que ¬AE, que niega la existencia de una función de elección en tal vez una sola colección de conjuntos no vacíos.

Resultados que requieren AE

Hay modelos de la teoría de Zermelo-Fraenkel en los que el axioma de elección es falso; en adelante se abreviará "teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más la negación del axioma de elección" por ZF¬E. En algunos modelos de ZF¬E es posible probar la negación de algunas propiedades comunes. Y puesto que un modelo de ZF¬E es también modelo de ZF, cada una de las siguientes afirmaciones es válida en algún modelo de ZF (suponiendo, como siempre, que ZF es consistente):

• Existe un modelo de ZF¬E en el que hay una función f de los reales en los reales que no es continua en a, pero para toda secuencia {x_n} que converja a a, f(x_n) converge a f(a).
• Existe un modelo de ZF¬E en el que el conjunto de los reales es una unión numerable de conjuntos numerables.
• Existe un modelo de ZF¬E en el que hay un campo sin clausura algebraica.
• En todos los modelos de ZF¬E hay un espacio vectorial sin base.
• Existe un modelo de ZF¬E en el que hay un espacio vectorial con dos bases de cardinalidad diferente.
• Existe un modelo de ZF¬E en el que todo subconjunto de Rⁿ es medible. Con esto es posible eliminar resultados contraintuitivos como la paradoja de Banach-Tarski, que son demostrables en ZFE.
• En ningún modelo de ZF¬E vale la hipótesis del continuo generalizada.

Referencias

1. ↑ Zermelo, Ernst (1904). «Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann» Mathematische Annalen. Vol. 59. pp. 514-516.
2. ↑ Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972 (1960), ISBN 0-486-61630-4, p. 240
3. ↑ [FOM] Are (C,+) and (R,+) isomorphic

Obtenido de "Axioma de elecci%C3%B3n"