Subconjunto

Subconjunto

En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A "está contenido" dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B.

Contenido

Definición

En la imagen, se observa un conjunto de polígonos, dentro del cual pueden distinguirse algunos que son regulares. El conjunto de polígonos regulares en la imagen es un subconjunto del conjunto de todos los polígonos en la imagen.

Un conjunto A formado por algunos de los elementos de otro conjunto B es un subconjunto de este último:

Sean A y B dos conjuntos tal que cada elemento de A es también elemento de B. Entonces se dice que:

  • A es un subconjunto de B, y se denota AB
  • B es un superconjunto de A, y se denota BA

Otras maneras de decirlo son "A está incluido en B", "B incluye a A", etc.

Ejemplos.

El "conjunto de todos los hombres" es un subconjunto del "conjunto de todas las personas".
{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}
{2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )

Subconjunto propio

Es obvio que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.

Así, dados dos conjuntos AB, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.

Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:

Sea A un subconjunto de B tal que AB. Estonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por AB.
(A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, BA)

Todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

También se utiliza la notación AB y BA, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, AB y BA; o subconjunto propio, AB y BA.

Conjunto potencia

Artículo principal: Conjunto potencia

La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de A:

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A:

\mathcal P (A)=\{B:\,B\subseteq A\}

Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, digamos |A| = n, el conjunto potencia también es finito y tiene 2n elementos.

Ejemplo. Dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:

\mathcal P(A)=\{\emptyset,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,b\}\}

Propiedades

El conjunto vacío, denotado como ∅, es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto es debido a que "todo elemento de ∅ lo es de A" significa lo mismo que "∅ no tiene ningún elemento que no esté en A", y esto es cierto sea cual sea A ya que ∅ no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C, entoces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:

Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A , entonces A = B.

Propiedades avanzadas

La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (AA); transitiva (AB y BC implican AC); y antisimétrica (AB y BA implica A = B).

Referencias

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • subconjunto — s. m. 1. Divisão de um conjunto. 2.  [Matemática] subconjunto dum conjunto E: conjunto em que todos os elementos pertencem ao conjunto E.   ‣ Etimologia: sub + conjunto …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • subconjunto — sustantivo masculino 1. Área: matemáticas Conjunto cuyos elementos pertenecen a otro conjunto superior: El conjunto mesas es un subconjunto del conjunto muebles …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • subconjunto — m. Mat. Conjunto de elementos que pertenecen a otro conjunto …   Diccionario de la lengua española

  • Subconjunto — ► sustantivo masculino MATEMÁTICAS Conjunto de elementos que está dentro de otro conjunto más amplio. * * * subconjunto m. Mat. *Conjunto incluido en otro más amplio. * * * subconjunto. m. Mat. Conjunto de elementos que pertenecen a otro conjunto …   Enciclopedia Universal

  • subconjunto — s m (Mat) Agrupación de sólo algunos elementos de un conjunto que comparten ciertas características entre sí: En un conjunto de patos, el subconjunto de los patos blancos, el subconjunto de los patos cafés, etcétera …   Español en México

  • subconjunto — {{#}}{{LM S36498}}{{〓}} {{[}}subconjunto{{]}} ‹sub·con·jun·to› {{《}}▍ s.m.{{》}} {{♂}}En matemáticas,{{♀}} conjunto cuyos elementos pertenecen a otro conjunto mayor …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • Subconjunto difuso — Introducción La teoría de los subconjuntos difusos o borrosos (palabras intercambiables en este contexto) fue desarrollada por Lofti A. Zadeh en 1965 con el fin de representar matemáticamente la imprecisión intríseca de ciertas categorías de… …   Enciclopedia Universal

  • Conjunto — Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos los polígonos regulares en la imagen es otro conjunto, en particular, un… …   Wikipedia Español

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