Complemento de un conjunto

Complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto A es otro conjunto A que contiene todos los elementos (dentro del universo U) que no están en A.

El conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:

P = {2, 3, 5, 7, ...}
C = {1, 4, 6, 8, 9,...}

A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra vertical o por el superíndice "∁", por lo que se tiene: P = C, y también C = P.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Contenido

Definición

Complementario de un conjunto A.

Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto A formado por los elementos que no pertenecen a A:

El complementario de A es otro conjunto A cuyos elementos son todos aquellos que no están en A:

x\in A^\complement \text{ si y s}\acute{\text{o}}\text{lo si }x\notin A

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación "todos los x que no está en A", la palabra "todos" es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación con la diferencia es clara:

A^\complement =U\setminus A

Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:

A\setminus B=A\cap B^\complement

Ejemplo.

  • El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).
  • Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}.
  • El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el área del rectángulo).

Propiedades

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

U^\complement=\varnothing\text{ , }\varnothing^\complement=U

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

(A) = A
  • La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
AA = U
  • Un conjunto y su complementario son disjuntos:
AA = ∅
  • El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A:
BA implica que AB

Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

Leyes de De Morgan

  • El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los complementarios:
(AB) = AB
  • El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los complementarios:
(AB) = AB

Véase también

Referencias

  • Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7. 

Wikimedia foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • Complemento de un conjunto — Llamamos conjunto complementario de un conjunto A y lo representamos por Ac al conjunto diferencia: U A. Esto es: Ac = x ∈ U: x ∉ A. Por ejemplo, si tenemos que …   Enciclopedia Universal

  • Conjunto universal — …   Wikipedia Español

  • Complemento — El término puede referirse a: En sintaxis al Complemento sintáctico. En inmunología al Sistema del complemento. En teoría de conjuntos al Complemento de un conjunto. En informática un complemento es una aplicación que se relaciona con otra para… …   Wikipedia Español

  • Conjunto — Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos los polígonos regulares en la imagen es otro conjunto, en particular, un… …   Wikipedia Español

  • Conjunto (informática) — Este artículo o sección sobre informática necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo. Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 20 de abril de 2011. También puedes… …   Wikipedia Español

  • Conjunto de instrucciones — Saltar a navegación, búsqueda Un conjunto de instrucciones o repertorio de instrucciones, juego de instrucciones o ISA (del inglés Instruction Set Architecture, Arquitectura del Conjunto de Instrucciones) es una especificación que detalla las… …   Wikipedia Español

  • complemento — (Del lat. complementum). 1. m. Cosa, cualidad o circunstancia que se añade a otra para hacerla íntegra o perfecta. 2. Integridad, perfección, plenitud a que llega algo. 3. Retribución que percibe el trabajador por circunstancias singulares de su… …   Diccionario de la lengua española

  • Conjunto de Julia — Conjunto de Julia, un fractal. C = [0.285, 0.01]. Los conjuntos de Julia, así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados… …   Wikipedia Español

  • complemento — (Del lat. complementum.) ► sustantivo masculino 1 Cosa, cualidad o circunstancia que, añadida a otra, la completa o perfecciona. SINÓNIMO aditamento añadido 2 Cada uno de los elementos que se complementan mutuamente. 3 GEOMETRÍA Arco o ángulo que …   Enciclopedia Universal

  • Conjunto contorno — En matemática, un conjunto contorno generaliza y formaliza las nociones diarias de: Todo lo superior a algo Todo lo superior o equivalente a algo Todo lo inferior a algo Todo lo inferior o equivalente a algo Contenido 1 Definiciones 1.1 Conjunto… …   Wikipedia Español


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»